Подобрать формулу ...

[yk2ru]

Есть свойство треугольника Паскаля: Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$
Также если складывать или попеременно складывать/вычитать эти числа через один, то тоже получаем степень двойки в сумме. Для второго случая предлагалась даже формула через комплексные числа в следующий теме:
http://dxdy.ru/post493083.html#p493083
Далее, если складывать эти числа через три, то есть пропуская три числа, то иногда получаем степень двойки, но чаще разность или сумму двух чисел, степеней двойки. Привожу результаты для строк 2-17:

2: 1 = 1 +- 0
3: 1 = 2 - 1
4: 2 = 4 - 2
5: 6 = 8 - 2 
6: 16 = 16 -+ 0
7: 36 = 32 + 4
8: 72 = 64 + 8
9: 136 = 128 + 8
10: 256 = 256 +- 0
11: 496 = 512 - 16
12: 992 = 1024 - 32
13: 2016 = 2048 - 32
14: 4096 = 4096 -+ 0
15: 8256 = 8192 + 64
16: 16512 = 16384 + 128
17: 32896 = 32768 + 128

Подобрать бы только для этого краткую формулу. Реально же нужно задать формулой ряд чисел:
$0, -1, -2, -2, 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, ...$

[Sonic86]

Зачем подбирать формулу, если ее можно вычислить аналитически мультисекцией ряда? (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1 ... 0%B4%D0%B0)
Или Вы результат мультисекции не смогли упростить?

[Math_er]

В структурах такого типа (как треугольник Паскаля) хорошо работает метод из серии интерполяционных многочленов, который, наверно, каждый интересующийся для себя открывал в школьные годы: многоуровнего применения разностного оператора к каждой соседней паре чисел. То есть Вы из исходной последовательности составляете новую последовательность чисел, состоящих из разностей соседних элементов исходной, и повторяете эту процедуру, пока не останется одно число. Визуально получится треугольник, в котором нужно обратить внимание на левую сторону. Угадать закономерность в ней обычно достаточно легко, а как отсюда получить "формулу" исходной последовательности - понятно.

[yk2ru]

Sonic86 в сообщении #1201600 писал(а):

Зачем подбирать формулу, если ее можно вычислить аналитически мультисекцией ряда? (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1 ... 0%B4%D0%B0)
Или Вы результат мультисекции не смогли упростить?

Не слышал раньше про мультисекции.

[yk2ru]

Получается по той формуле сумма чисел.
Код на Maxima:

for q:2 thru 17 do
(
s:0,for k:0 thru 3 do
(
d:0,a:2*cos(%pi*k/4),b:%pi*k*(q-2*d)/4,s:s+a^q*cos(b)/4
),
print(s)
);

По ссылке "Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3" результат приведён в конце статьи.

[svv]

И подобрать формулу для последовательности $(0,-1,-1,-2, 0, 4, 8, 8, ...)$ несложно. Если выделить множитель $2^{n/2}$, останется синус чего-то.

[yk2ru]

svv в сообщении #1201819 писал(а):

останется синус чего-то

Там удвоенное произведение двух косинусов реально, может и через синус возможно. Линк на Вики дан выше, там есть ссылка на статью "Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3", формула в конце статьи, которую можно и далее упростить с учётом, что шаг равен 4. Или можно брать формулу из статьи в Вики и её упрощать. 4 слагаемых, при нуле косинусы равны 1, для 1 и 3 произведение косинусов даёт одинаковый результат, при 2 произведение зануляется.

[yk2ru]

Если попеременно числа в строках складывать/вычитать через три числа, то в чётных строках такие суммы будут пропорциональны числам Пелля-Люка с коэффициентами из этой самой последовательности $(0,-1,-1,-2, 0, 4, 8, 8, ...)$ .

n U V
0 0 2
1 1 2
2 2 6   4: 0   = 0*6
3 5 14   6: -14 =-1*14
4 12 34   8: -68 =-2*34
5 29 82   10:-164=-2*82
6 70 198   12:0   = 0*198
7 169 478   14:1912= 4*478
8 408 1154   16:9232= 8*1154
9 985 2786   18:22288=8*2786
10 2378 6726   20:0    =0*6726

Слева числа Пелля-Люка, справа суммы по строкам, начиная с 4-ой.

[yk2ru]

При ненулевых добавочных значениях суммы из первого сообщения можно записать так:

$$S_n=2^{n-2}+{(-1)^{\left\lfloor {\frac {n+2}{4}}\right\rfloor}}2^{\left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor}$$

for n:= 1 to 17 do
S:=2**(n-2);
if ((n-2)mod 4 <> 0) then
 S:=S+(-1)**((n+2)div 4)*2**((n-2)div 2);
end;
writeln(n,": ",S);
end.
1: 1.00000000
2: 1
3: 1
4: 2
5: 6
6: 16
7: 36
8: 72
9: 136
10: 256
11: 496
12: 992
13: 2016
14: 4096
15: 8256
16: 16512
17: 32896