Оценка погрешности формулы Чебышёва

[Buzz-buzz]

Нужна оценка погрешности обобщённой формулы Чебышёва численного интегрирования (эта та, что с равными весами). Достаточно для формулы 3-его порядка. Ни в какой литературе найти не могу (не только учебники по численным методам для студентов, но и книги по численному интегрированию для специалистов).

[ewert]

Ну, 3-го порядка -- это, скорее всего, трёхточечная (смотря что понимать под порядком, но других разумных версий не просматривается). И, допустим, для стандартного промежутка длины два.

Тогда ещё вопрос, что понимать под "оценкой". В случае трёх точек узлы ведь очень просты -- это $x_0=0$ и $x_{\pm1}=\pm\frac1{\sqrt2}$. После чего очень легко получить оценку
$|R|\leqslant\max\{|f^{(4)}|\}\cdot\int\limits_{-1}^1\left|x^2\left(x^2-\frac12\right)\right|\,dx=\ldots$
и т.д.

А вот можно ли получить оценку лагранжева типа -- типа $R=f^{(4)}(\xi)\cdot\int\limits_{-1}^1x^2\left(x^2-\frac12\right)\,dx$, как для Симпсона, скажем, -- сильно сомневаюсь. Хотя, возможно, что и неправ. Мне попадалось обсуждение подобных вопросов хоть в мало-мальски общей постановке (для формул Ньютона-Котеса) лишь в одной книжке, притом весьма древней: Березин, Жидков, "Методы вычислений". Гляньте, может, там и про Чебышёва чего есть.

(Оффтоп)

Впрочем, лагранжевы оценки практически ничем в данном случае не помогают. Ни сугубо практически, ни даже теоретически. Поскольку в теории (применительно к дальнейшим вычислительным процедурам) интересен лишь один вопрос: а воистину ли погрешность составных квадратурных формул асимптотически пропорциональна соотв. степени шага с тем самым интегралом в качестве общего множителя?...

И общий ответ: "да, ессно". Независимо от справедливости или нет формул лагранжева типа.

[Buzz-buzz]

Всё сходится к ней, и в ней только необобщаемая оценка для интеграла по отрезку от -1 до 1 типа приведённой вами, т. е. не будет зависеть от шага разбиения при суммировании для получения погрешности обобщённой формулы.

[ewert]

Buzz-buzz в сообщении #1203563 писал(а):

Всё сходится к ней

Кто сходится к кому?...

Ещё раз: если нужно степенное асимптотическое поведение погрешности составной формулы в зависимости от шага разбиения, т.е. в зависимости от количества отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования, то для него лагранжевы оценки погрешности не нужны. Такое асимптотическое поведение -- факт универсальный и верен для вообще любой интерполяционной квадратурной формулы.

[Buzz-buzz]

Да, нужна оценка через степень длины отрезка интегрирования, большую 1 (потом при суммировании с целью получения погрешности обобщённой формулы полученная степень шага разбиения снизится на 1, но будет больше 0 и можно будет говорить о каком-то поведении погрешности). Но формула Чебышёва — не интерполяционная.

ewert в сообщении #1203754 писал(а):

Buzz-buzz в сообщении #1203563 писал(а):

Всё сходится к ней

Кто сходится к кому?.

К книге Березин, Жидков, но проехали её.

[Someone]

Buzz-buzz в сообщении #1203822 писал(а):

Но формула Чебышёва — не интерполяционная.

Почему, собственно говоря? http://edu.sernam.ru/book_p_math1.php?id=149

[TOTAL]

Buzz-buzz в сообщении #1203563 писал(а):

Всё сходится к ней, и в ней только необобщаемая оценка для интеграла по отрезку от -1 до 1 типа приведённой вами, т. е. не будет зависеть от шага разбиения при суммировании для получения погрешности обобщённой формулы.

$|R|\leqslant\max\{|f^{(4)}|\}\cdot\int\limits_{-1}^1\left|x^2\left(x^2-\frac12\right)\right|\,dx=\ldots$
Вот эту штуку перепишите для одного подынтервала составной формулы, просуммируйте. Что ещё надо?

[ewert]

Buzz-buzz в сообщении #1203563 писал(а):

и в ней только необобщаемая оценка для интеграла по отрезку от -1 до 1 типа приведённой вами,

А, я, кажется, понял.

Дело в том, что "необобщаемых" в Вашем смысле оценок не существует в принципе. Любая оценка со стандартного промежутка фиксированной длины элементарно пересчитывается на оценку для промежутка какой угодно длины, в т.ч. и $h=\frac{b-a}n$ (формально -- линейной заменой переменной, практически же -- тупо соображениями здравого смысла). После чего

TOTAL в сообщении #1203847 писал(а):

просуммируйте.

Это же банальщина.

-- Пн мар 27, 2017 21:21:14 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1203838 писал(а):

Buzz-buzz в сообщении #1203822 писал(а):

Но формула Чебышёва — не интерполяционная.

Почему, собственно говоря? http://edu.sernam.ru/book_p_math1.php?id=149

Апропос. Книжка крайне устарела. На сегодняшний день пытаться применять простую квадратурную формулу к промежутку немаленькой длины просто неприлично. А уж сравнивать численные значения погрешностей для разных формул -- так и тем паче. Они ведь (при немаленькой длине) существенно зависят от выбора подынтегральной функции.

[sergei1961]

Для 4 точек постоянная перед супремумом=максимумом равна 1/135, есть задача в задачнике Шабунина и др. по матану.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1204405 писал(а):

Для 4 точек постоянная перед супремумом=максимумом равна 1/135, есть задача в задачнике Шабунина и др. по матану.

Не для четырёх, а для двух. И, между прочим, не Чебышёва, а Гаусса.

[Buzz-buzz]

В общем, спасибо всем, кто пытался помочь, но проблема решилась, почти как у Менделеева во сне. До меня наконец-то дошло, что алгебраический порядок точности гарантирует как минимум на один больше порядок сходимости обобщённой формулы, тупо из разложения по формуле Тейлора. ) Похоже, я реально всего лишь студент. ) Предлагаю тему закрыть.

[ewert]

Buzz-buzz в сообщении #1204473 писал(а):

До меня наконец-то дошло, что алгебраический порядок точности гарантирует как минимум на один больше порядок сходимости, тупо из разложения по формуле Тейлора. )

Да Тейлор тут ни разу не при чём. Так бы сразу и сказали, что Вас интересует всего лишь порядок. Тогда всё тривиально: Чебышёв добивался того, чтоб алгебраический порядок точности был на единицу выше гарантированного (который на единицу меньше количества узлов).

[Buzz-buzz]

И порядок сходимости, и коэффициент перед степенью шага (получился равным 48/15, что многовато как-то, правда). Чтоб оценку для погрешности заиметь, кроме как по правилу Рунге. Формула Чебышёва 3-его порядка имеет 3 ординаты, алгебраический порядок точности 3 и порядок сходимости 4 (как я только что допёр-таки). Но почему вы пишите, что гарантированный порядок сходимости на единицу меньше числа узлов?

[ewert]

Buzz-buzz в сообщении #1204529 писал(а):

алгебраический порядок точности 3 и порядок сходимости 4 (как я только что допёр-таки).

Я не знаю, что Вы понимаете под "порядком сходимости". Но есть общая теорема: оценка погрешности $O(h^m)$ (для простой, т.е. "необобщённой" в Вашей терминологии формулы) верна тогда и только тогда, когда эта формула даёт точный результат для всех многочленов степени не выше $(m-2)$. Причём независимо от того, каким способом эта формула получена.

И вот при доказательстве этой теоремы Тейлор -- да, важен. После же неё -- ни разу.

Buzz-buzz в сообщении #1204529 писал(а):

почему вы пишите, что гарантированный порядок сходимости на единицу меньше числа узлов?

Просто потому, что любая интерполяционная (а иных в этом разряде и не бывает) квадратурная формула заведомо точна для всех многочленов степени эн минус один. Тупо потому, что любой такой многочлен является интерполяционным для самого себя.

[Buzz-buzz]

Но интерполяционные квадратурные формулы ни при чём, ведь формула Чебышёва не интерполяционная, ибо выводится с равными весовыми коэффициентами (и она не интерполяционного типа, т. к. имеет алгебраический порядок точности, равный числу узлов, а не на один меньший; мы помним, что в дурацкой устоявшейся терминологии "интерполяционная" и "интерполяционного типа" — это разные определения, но любая интерполяционная будет интерполяциионного типа). Показатель, или порядок, сходимости итерационного процесса есть, конечно, вещь иная, а именно, степень погрешности на предыдущем приближении (i-1-ом), такая что погрешность на текущем(i-ом) ей эквивалентна при i, стремящемя к бесконечности, но я так обозвал для простоты степень шага разбиения в оценке погрешности обобщённой формулы. ) Именно, при суммировании для получении погрешности обобщённой формулы из погрешности для необобщённой эта степень снижается на единицу (m—>m-1, лучше m-1 и m-2 тогда обозвать n и n-1). В общем, проблема решена, тему пора закрывать. А мне нужно срочно осваивать TeX, ибо без него кошмар. )