Задача изначально физическая, но так как она моментально приводится к решению уравнения, то тема логичнее смотрится в этом разделе.
Значит, задача такая (это "Сборник задач по классической электродинамике" А.И. Алексеева). На плоскости внутри круга радиуса
поддерживается потенциал
, а вне этого круга - нулевой потенциал. Нужно найти потенциал в любой точке над плоскостью - зарядов там нет.
Решается уравнение Лапласа
с краевыми условиями
,
,
,
и
,
,
,
. Ищу решение в виде разложения по полиномам Лежандра:
Использую краевые условия:
Так как в нуле нечётные полиномы Лежандра обращаются в нуль, то все чётные коэффициенты
,
, кроме
.
До этого момента всё нормально. Дальше начинается проблема. В задачнике в указании к решению сказано, что нужно записать условие непрерывности потенциала и его производной по радиальному направлению на полусфере
,
. Но ведь это приведёт к системе однородных уравнений:
Тут что-то не так... Судя по всему, второе уравнение здесь правильное, а первое - нет. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь?