Площади трёх треугольников

[kotenok gav]

ABCD - прямоугольник. Есть точки Е и F на сторонах AD и DC соотвественно. Площади треугольников ABE, FBC и EDF - 40, 11 и 3 квадратных единиц соотвественно. Найти площадь прямоугольника.
Пробовал делать так:
Сначала обозначаю: [CD]=a, [AD]=b, [ED]=c, [FD]=d, $S_{BEF}=x$.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} b(a-d)=80 \\ a(b-c)=22 \\ cd=6 \\ ab=3+40+11+x \\ x=\sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{c^2+d^2})(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{(a-d)^2+b^2})(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{(b-c)^2+a^2})} \end{array} \right.$$

Но я не могу решить эту систему!

[gris]

Вы неудачно обозначили отрезки
Вот как попробовал я: $AB=CD=a;BC=AD=b;ED=x;FD=y$
Из условий получаем: $a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$
А что надо найти? Вовсе не $x$ и $y$, а $ab$!
И всё!

[kotenok gav]

gris в сообщении #1203296 писал(а):

Да и системы нет никакой

Почему нет? Пять уравнений и пять неизвестных.

[gris]

Увидел систему процитировав Ваше сообщение. До этого она как-то плохо у меня отображалась. Да и сейчас что-то не отображается
Я о чём: что не надо находить то, что не просят. Да и найти невозможно, как мне кажется.
Последнее уравнение у Вас следует из первых четырёх (при некоторых оговорках). Поэтому система переполнена.

[Yadryara]

kotenok gav
Забудьте пока про формулу Герона. Она здесь не нужна.

[ewert]

Не надо двух сторон прямоугольника -- достаточно считать, что это квадрат со стороной $a$. Тогда $\frac{S_{FBC}}{S_{ABE}}=\frac{x}y=\frac{11}{40}$ и $\frac{S_{EDF}}{S_{ABE}}=\frac{(a-x)(a-y}{ax}=\frac3{40}$. Система однородна, поэтому из неё легко получается квадратное уравнение (причём хорошее) для отношения $\frac{x}a$, а больше ничего и не нужно.

[Sinoid]

ewert в сообщении #1203361 писал(а):

Не надо двух сторон прямоугольника -- достаточно считать, что это квадрат со стороной $a$

Хм, что-то тут проективным преобразованием попахивает, что для, скажем, восьмиклассника не очень желательно. А чем это

gris в сообщении #1203296 писал(а):

Вот как попробовал я: $AB=CD=a;BC=AD=b;ED=x;FD=y$
Из условий получаем: $a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$
А что надо найти? Вовсе не $x$ и $y$, а $ab$!

плохо?

[ewert]

Sinoid в сообщении #1203379 писал(а):

Хм, что-то тут проективным преобразованием попахивает, что для, скажем, восьмиклассника не очень желательно.

Каким проективным? Просто при одновременном растяжении вдоль одной стороны и таким же сжатием вдоль другой все площади сохраняются. Что может быть очевиднее?

Sinoid в сообщении #1203379 писал(а):

плохо?

Не плохо. В сущности, это примерно то же (только иксы с игреками выбраны иначе). Но это ещё далеко не всё.

[gris]

Я попросту раскрыл скобки, выполнил переносы, почастное умножение и подставил $6$ куда надо. И переобозначил $x=ab$. Что надо было сделать с самого начало. Ибо полезно обозначать через $x$ именно то, что надо найти, чтобы потом не путаться. И в хорошем квадратном уравнении отмёл один нехороший корень. А сами длины отрезков найти нельзя, ибо растяжение и сжатие, да.

[Yadryara]

gris в сообщении #1203401 писал(а):

А сами длины отрезков найти нельзя, ибо растяжение и сжатие, да.

Нашёл длины всевозможных отрезков.

[svv]

ewert в сообщении #1203388 писал(а):

Просто при одновременном растяжении вдоль одной стороны и таким же сжатием вдоль другой все площади сохраняются.

Тем не менее, обладая телепатическими способностями, можно сказать, какой вариант использовали авторы в качестве «отладочного»:
$AB=8, BC=11, CF=2, FD=6, AE=10, ED=1$.

[gris]

Я тоже находил для уверенности. Считаются только целые значения! Всего один вариант
$(8,11,1,6)$
Интересно, можно ли придать какой-то геометрический смысл решению $ab=20$. Например, вариант $(-4,-5, 15,0.4)$ алгебраически подходит, но как его приспособить?
O! Я не одинок!

[svv]

gris в сообщении #1203441 писал(а):

Интересно, можно ли придать какой-то геометрический смысл решению $ab=20$.

Вот так, например:

[ewert]

gris в сообщении #1203401 писал(а):

Я попросту раскрыл скобки, выполнил переносы, почастное умножение и подставил $6$ куда надо. И переобозначил $x=ab$.

В Вашей версии, по-моему, проще разделить всё на $ab$. Получится система из двух уравнений для неизвестных $s=\frac{x}a$ и $t=\frac{y}b$, сводящаяся к квадратному, и что $s$, что $t$ сразу дают коэффициент для общей площади. А как получить квадратное сразу для $ab$ -- не знаю; а без квадратного уравнения, естественно, никак.

[svv]

Я так решал. Пусть $AB=a, BC=b, CF=\lambda a, AE=\mu b$. Обозначим ещё $S=ab$. Тогда
$2S_{ABE}=\mu S=80$
$2S_{FBC}=\lambda S=22$
$2S_{EDF}=(1-\mu)(1-\lambda)S=6$
Выражаем из первых двух уравнений $\mu$ и $\lambda$, подставляем в третье, получаем квадратное уравнение для $S$.