Разложение на множители многочлена особого вида

[Rusit8800]

Пользуясь программой Maple, я вывел некоторую закономерность, которую сформулирую в виде гипотезы:

Всякий многочлен вида $\[\sum\limits_{i = 0}^k {{x^{in}}} \]$, где $\[k,n \in \[\mathbb{N}\]$ можно разложить на множители.

Интересно, известен ли этот результат и, может, кто-то уже вывел формулу этого разложения?

[gris]

Всякий многочлен можно разложить на линейные множители над $\mathbb C$.
Всякий многочлен степени большей двух можно разложить на линейные и квадратичные множители над над $\mathbb R$.
В Вашем случае формулу можно получить в некоторых случаях. Ну для корректности надо бы исключить случаи $1+x;1+x^2$. Куда их ещё раскладывать?

[provincialka]

Rusit8800
а на $k,n$ нет ограничений (снизу)? Например, при $k=2, n=1$ получаем многочлен $1+x+x^2$ -- и на что он раскладывается? А вообще, если я правильно поняла вашу запись, дело сводится к корням из единицы (комплексным, разумеется).

[Rusit8800]

gris в сообщении #1203054 писал(а):

Всякий многочлен можно разложить на линейные множители над $\mathbb C$

Над $\[\mathbb{R}\]$

-- 24.03.2017, 11:38 --

provincialka в сообщении #1203055 писал(а):

Ну для корректности надо бы исключить случаи $1+x;1+x^2$. Куда их ещё раскладывать?

provincialka в сообщении #1203055 писал(а):

Например, при $k=2, n=1$ получаем многочлен $1+x+x^2$ -- и на что он раскладывается?

А вот и контрпримеры

-- 24.03.2017, 11:38 --

gris в сообщении #1203054 писал(а):

Всякий многочлен степени большей двух можно разложить на линейные и квадратичные множители над над $\mathbb R$.

А как тогда разложить $5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$ ?

[gris]

Ну в этом случае ещё можно выразить корни через радикалы, перемножить сопряженные и получить громоздкое разложение. Для более высоких степеней в общем виде нельзя получить выражение коэффициентов разложения. Но оно существует, и коэффициенты можно получить с любой точностью. У Вас специфический вид многочлена. Можно его ещё обособить. Например, $k=2;n=4m$. Тут видно, что можно легко привести к разности квадратов. Можно многочлен записать в виде дроби по формуле геометрической прогрессии и попробовать посокращать, но без возвращения к прежнему виду.

[mihiv]

Если $k >1$ и нечетное, то всегда раскладывается по крайней мере на два множителя: $\sum =(1+x^n+\dots +x^{n\frac {k-1}2 })(1+x^{n\frac {k+1}2}) $

[gris]

Что-то ТС тему забросил. А хочется её потормошить. Вот что значит — разложить на множители. По-школьному это пользуясь разными там группировками и ФСУ записать её в виде произведения хоть каких выражений. Ну например:
$1+x^4+x^8=1+2x^4+x^8-x^4=(1+x^4)^2-(x^2)^2=(1-x^2+x^4)(1+x^2+x^4)$
$1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10}+x^{12}+x^{14}+x^{16}=(1-x^{18})/(1-x^2)=(1-x^9)(1+x^9)/(1-x^2)=(1-x^3)(1+x^3+x^6)(1+x^3)(1-x^3+x^6)/(x-1)(x+1)=(1+x+x^2)(1-x+x^2)(1+x^3+x^6)(1-x^3+x^6)$
А можно и теорию навести. Как указала provincialka
из формулы $P=\dfrac {1-x^{kn+k}}{1-x^k}$ следует, что корни многочлена суть корни из единицы. То есть может быть ровно один действительный корень $x=-1$ и куча комплексных, либо только комплексные. Комплексные попарно сопряжены. Каждая пара даёт квадратный трёхчлен вида $1+ax+x^2$. Может и есть вывод всех этих $a$ из $k$ и $n$, но там, наверное, будут по Эйлеру какие-то синусы и косинусы долей пи, то есть вещи бесполезные. Впрочем, тут я не знаю.

[Sonic86]

Rusit8800 в сообщении #1203051 писал(а):

Всякий многочлен вида $\[\sum\limits_{i = 0}^k {{x^{in}}} \]$, где $\[k,n \in \[\mathbb{N}\]$ можно разложить на множители.

Это очевидно ложно при некоторых очень простых значениях одного из параметров.