Пытаюсь доказать, что определитель ненулевой

[Dondiez]

Имеется линейная система векторов вида $\{ v_{1},v_{2},..., v_{k},...,v_{2k-1}$\}$ (в моем случае$v_{i}$ - некоторый полином $q_{i}(x)$ степени $i-1$) с векторным произведением $ \langle v_{l}v_{m}\rangle = \int_{0}^{1} q_{l}q_{m} \theta(x)dx$ (с весом).

Потребовалось вот показать, что для этой системы не равен нулю определитель матрицы $M$ размером $k x k$ вида

$$ \begin{pmatrix} \langle v_{1}v_{1}\rangle & \langle v_{1}v_{2}\rangle\dots & \langle v_{1}v_{k}\rangle \\ \langle v_{k+1}v_{1}\rangle & \langle v_{k+1}v_{2}\rangle \dots& \langle v_{k+1}v_{k}\rangle \\ \hdotsfor{3} \\ \langle v_{2k-1}v_{1}\rangle & \langle v_{2k-1}v_{2}\rangle\dots &\langle v_{2k-1}v_{k}\rangle \end{pmatrix} $$

То есть, например, для k=3 система состоит из 5 векторов, матрица $M $:

$$ \begin{pmatrix} \langle v_{1}v_{1}\rangle & \langle v_{1}v_{2}\rangle & \langle v_{1}v_{2}\rangle \\ \langle v_{4}v_{1}\rangle & \langle v_{4}v_{2}\rangle & \langle v_{4}v_{k}\rangle \\ \langle v_{5}v_{1}\rangle & \langle v_{5}v_{2}\rangle&\langle v_{5}v_{3}\rangle \end{pmatrix} $$

Я могу показать, что определитель Грама $\lvert G \rvert$ для заданной системы не равен нулю, и система линейно независима.
Однако $\lvert M \rvert$ - не определитель Грама, и не его главный минор. $M$ недиагональна.

На этом месте глубина моих познаний в области векторной алгебры практически исчерпана.
Вдруг кто подскажет, как быть.

[svv]

И я не смогу это доказать! Пусть векторы $v_1,...,v_5$ образуют ортонормированный базис. Тогда матрица $M$ из Вашего примера будет иметь лишь один ненулевой элемент $\langle v_1, v_1\rangle$.

[vpb]

Во-первых, это произведение не векторное, а скалярное, а $\langle ab\rangle$ лучше писать через запятую: $\langle a,b\rangle$. Но это мелочи. Главное, для ответа на вопрос надо знать сами многочлены и вес, конкретно.