Вычисление собственных чисел матрицы произвольного размера

[Zovube]

Доброго времени суток!

При решении задачи №1033 из данного задачника : http://ikfia.ysn.ru/images/doc/algebra/FaddeevSominskij1977ru.pdf я встретился с некоторыми проблемами.
Задача звучит следующим образом :
Найдите собственные значения матрицы порядка n:
В начале я получил рекуррентное соотношение для характеристического многочлена $a(n)$:
$a(n) = a(n-1)(-x)-a(n-2)$
$a(0) = 1, a(1) = -x$

После этого я выписал первые несколько(9) многочленов и по ним вывел более-менее общую формулу :
$a(n) = \sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}(-1)^{(n+k\bmod2)} x^{(n-2k)} \binom{n-k}{k}$

Теперь передо мной встала задача, которую я пытаюсь решить уже несколько часов: как разложить данный многочлен на множители и найти его корни?

Примечание.
Ответ на задачу : $x_k = 2\cos{\dfrac{k\pi}{n+1}}$
$ k = 1, 2, ..., n $

В рекомендациях к решению советуют сделать замену $x = 2\cos(\varphi)$
Я к сожалению не совсем понимаю как действовать дальше.

Буду рад любым советам по поводу решения!

[bot]

В определителе, представляющий характеристический многочлен, сложите все строчки. Дальнейшее очевидно.

[ewert]

Zovube в сообщении #1202783 писал(а):

В начале я получил рекуррентное соотношение для характеристического многочлена $a(n)$:

Напрасно, это малоперспективно.

Zovube в сообщении #1202783 писал(а):

В рекомендациях к решению советуют сделать замену $x = 2\cos(\varphi)$

Это плохой совет. С какой стати косинус-то, да ещё и два?...

Ищите не собственные числа сами по себе, а одновременно с собственными векторами. Дополните искомый вектор двумя нулевыми значениями по краям: $x_0=0$, $x_{n+1}=0$. Тогда для всех $k=1,2,\ldots,n$ будет $x_{k+1}+x_{k-1}=\lambda x_k$. Ищите решение этого разностного уравнения в виде $x_k=q^k$. Получится общее решение вида $x_k=C_1q_1^k+C_2q_2^k$, где $q_1,\ q_2$ явно зависят от $\lambda$. На произвольные постоянные $C_1,\ C_2$ наложите граничные условия $x_0=0,\ x_{n+1}=0$ -- это будет однородная система из двух уравнений, которая должна иметь ненулевые решения, т.е. матрица должна быть вырожденной. Вот и условие на лямбду, и вполне явное.

(а косинусы появятся из-за того, что решения будут лишь для комплексно сопряжённых пар $q_{1,2}$)

[Zovube]

bot в сообщении #1202791 писал(а):

В определителе, представляющий характеристический многочлен, сложите все строчки. Дальнейшее очевидно.

Вы имеете ввиду каждую строчку с каждой?

[TOTAL]

Zovube в сообщении #1202783 писал(а):

В рекомендациях к решению советуют сделать замену $x = 2\cos(\varphi)$

Подставляйте эти рекомендации в свое рекуррентное сотношение $a_{n+1}+xa_{n}+a_{n-1}=0$, решение которого

$$a_{n}=C_1q_1^n + C_2q_2^n,$$

где $q_1, q_2$ корни уравнения

$$q^2+2\cos(\varphi) q+1=0,$$

т.е. $q_{1,2} = - e^{\pm i \varphi}$

[Zovube]

TOTAL в сообщении #1202826 писал(а):

Zovube в сообщении #1202783 писал(а):

В рекомендациях к решению советуют сделать замену $x = 2\cos(\varphi)$

Подставляйте эти рекомендации в свое рекуррентное сотношение $a_{n+1}+xa_{n}+a_{n-1}=0$, решение которого

$$a_{n}=C_1q_1^n + C_2q_2^n,$$

где $q_1, q_2$ корни уравнения

$$q^2+2\cos(\varphi) q+1=0,$$

т.е. $q_{1,2} = - e^{\pm i \varphi}$

Вы бы не могли поподробнее расписать процесс решения данного рекуррентного соотношения или дать ссылку на какую-нибудь литературу по этому вопросу(решение рекуррентных соотношений)?

Это очень интересная тема, с которой я хотел бы разобраться, но поиск в интернете дал весьма скудные результаты.

[Евгений Машеров]

А Маркушевич, "Возвратные последовательности", для первого ознакомления не подойдёт?

[bot]

(Оффтоп)

Zovube в сообщении #1202811 писал(а):

Вы имеете ввиду каждую строчку с каждой

Нет, все кроме первой, прибавьте к первой.
Стоп, а матрица не та ..., но списать на редактирование не получится - оно было раньше моего ответа. Остаётся одно - она мне во сне явилась такая простецкая со всеми единицами вне диагонали. То-то я ещё подумал - нафига столь мудрёное указание?

[ewert]

(Оффтоп)

Это -- матрица разностного оператора задачи Дирихле для оператора двукратного дифференцирования (с точностью до констант). Указание же обусловлено, видимо, тем, что авторы не рассчитывали на знакомство читателей с разностными уравнениями.

[Zovube]

Всем спасибо!
Постарался оформить решение в LaTex(первый опыт работы с данным интсрументом).
https://yadi.sk/i/XYldXq8a3Gx6k8

[mihailm]

Zovube в сообщении #1202851 писал(а):

...Это очень интересная тема, с которой я хотел бы разобраться, но поиск в интернете дал весьма скудные результаты.

Евгений Машеров в сообщении #1202949 писал(а):

А Маркушевич, "Возвратные последовательности", для первого ознакомления не подойдёт?

Маркушевич сойдет, но уж слишком долго и нудно до результата добираться, тем более там, как помню, нет ни теории СЛАУ, ни матриц.
Можно посмотреть задачник Кострикина, в самом начале, либо есть довольно приличная книга Лихтарникова.
Ах да, еще конечно же "Конкретная математика"