$\frac{2017^n -1}{15^n -1} $

[Navid]

Найти все положительные целые числа $n$такие, что $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $ быть квадратным.


P / S-1: Я доказал $n\equiv\m1\pmod{24}$, но принимая модуль {17,37,73} в отчаянии.
P/S-2:

[maxal]

Странная задача. $2017^n-1$ не обязано делиться на $15^n-1$. А если речь идёт о рациональных квадратах, то логичнее было бы рассматривать целочисленое произведение $(2017^n-1)(15^n-1)$, которое является квадратом тогда же, когда и дробь. На форуме уже была подобная задача с элементарным решением:
topic6414.html

[Navid]

Но, к сожалению, подход Szalay и Florian Luca и то, что вы сделали при решении вышеупомянутой проблемы, не работает над этой проблемой, поскольку $n$ является нечетным, а тип уравнения pell у нас есть, то же самое .. ..

[maxal]

Navid, статью Walsh (есть по ссылке) смотрели?

[Navid]

Да, я снова обратился к нему прямо сейчас, как я уже говорил в этой проблеме, $ n$ является нечетным, просто основное обоснование Walsh статей не работает!

[maxal]

Navid в сообщении #1201716 писал(а):

P / S-1: Я доказал $n\equiv\m1\pmod{24}$, но принимая модуль {17,37,73} в отчаянии.

Вычислением символов Якоби $(2017^n-1)(15^n-1)$ по различным простым модулям, получаем:

• модуль 5 даёт $n\equiv 1\pmod4$;
• модули $31,41$ дают $n\equiv 1\pmod{40}$;
• модули $19,37$ дают $n\equiv 1\pmod{9}$;
• модуль $271$ даёт $n\equiv 1\pmod{270}$.

Итого имеем $n\equiv 1\pmod{1080}$.
Можно продолжать и дальше, и конца здесь не видно.

[Navid]

Большое спасибо!,
Эта проблема кажется труднее, чем любой другой случай уравнения $(a^n -1)(b^n -1)=x^2$, поскольку я пытался использовать методы, реализованные в существующей литературе, но все они не работали.