Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)

[Ktina]

Перед Васей лежит $n$ кучек с $1, 2, \dots , n$ конфетами. За одну операцию Вася может добавить 1 конфету в одну из кучек, после чего съесть любую кучку с четным числом конфет. Если четных кучек после добавления конфеты нет, халява заканчивается. При каких натуральных $n$ Вася может съесть все конфеты?
(по мотивам задачи С. Берлова)

*Конечностью объёма желудка Васи пренебречь!

[ИСН]

Каждым ходом Вася либо создаёт чётную кучку и тут же её приканчивает, либо уничтожает (делает нечётной) одну такую кучку, а потом ещё съедает другую. Так или иначе, чётность числа чётных кучек по четвергам сохраняется. Если их число было изначально нечётно, нулём оно не станет никак. Если было чётно - станет, и понятно как.

Нечётные кучки вообще ни на что не влияют.

[Shadow]

Количество конфет в кучах не имеет значение, только четность имеет значение. Так что можно работать в двоичной системе
$101010\cdots$
За одну операцию меняем символ на противоположный и убираем один ноль, так что четность нулей не меняется.
Значит Вася съесть все конфеты тогда и только тогда, когда нулей - четное число, т.е при $n\equiv 0,1 \pmod 4$

[TOTAL]

(Оффтоп)

Если осталась одна кучка с четным числом конфет, то добавим в неё одну конфету, затем съедим расположенную рядом кучку с нулем конфет, затем съедим оставшуюся кучку. (В условии не запрещено съедать пустые кучки с четным числом колнфет.)

[Sender]

(Оффтоп)

А если непустых кучек не осталось, можно таким же образом наполнить конфетами пустую.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1202582 писал(а):

За одну операцию Вася может добавить 1 конфету в одну из кучек, после чего съесть любую кучку с четным числом конфет.

Если Вася добавил конфету, но перетерпел с поеданием кучки (в условии не запрещено терпеть),
то он тоже съест все конфеты.

[Albert61]

$\varphi 123$ 123

Toucan:

См. post1233773.html#p1233773

[bot]

Albert61, проба пера? Для этого есть другой раздел