Сколько целых чисел может быть?

[Ktina]

Дано некоторое вещественное число $x$, не равное нулю.
Сколько из следующих трёх чисел могут быть целыми?

$$x-\dfrac{1}{x},\quad \dfrac{1}{x^2+1}-2x\quad\text{и}\quad \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+1}$$

[gris]

Может быть ноль целых: при $x=2$.
Может быть одно целое: решаем первое уравнение для двойки и проверяем два других на нецелость. Конкретно: $x=1-\sqrt 2$.
Трёх быть не может: сложив все три выражения получим, что $x$ целое число, а дальше проверим $1$ и $-1$.
Итак, осталось узнать, может ли быть два целых значения.
Если рассмотреть области значений трёх выражений, то при проверке пары значений, можно увидеть, что второе выражение не может пару образовать, а рассмотрев сумму первого и третьего выражений, можно увидеть, что и они пару не образовывают. Но как-то нудно это.
Наверное, есть красивое решение. Ау-у-у!