коэффициенты разложения произведения 1/(1 - 2^i x)

[maxal]

Для всякого целого положительного $n$ докажите:

$$\prod_{i=0}^n \frac{1}{1-2^ix} = \sum_{k=0}^{\infty} c_k\cdot x^k,$$

где

$$c_k = \prod_{i=1}^{n} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1}.$$

[TOTAL]

Доказательство индукцией по $n$ и по $k$ сразу сводится к доказательству равенства

$$\prod_{i=1}^{n} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1} + 2^{n+1}\prod_{i=1}^{n+1} \frac{2^{k-1+i} - 1}{2^i - 1}= \prod_{i=1}^{n+1} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1}$$

[maxal]

Есть ещё как минимум два способа: через символ q-Почхаммера и вычислением количества $m\times n$ матриц полного ранга над $\mathrm{GF}(2)$.