Вычислить интеграл

[Orkimed]

Вот интеграл $\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^5(x)\cos^8(x)$. По формуле Ньютона-Лейбница получается 0.
Вот $-\dfrac{99\cos^{13}\left(x\right)-234\cos^{11}\left(x\right)+143\cos^9\left(x\right)}{1287}$.
Я этот интеграл взял из Тер-Крикорова. Там предлагают использовать свойства нечетности и переодичности подынтегрального выражения. Бьюсь уже долго. Cводят к $\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^5(x)\cos^8(x)$ Откуда взялось $\pi$? Как вообще шли рассуждения?
Отсылают к $\int\limits_{-a}^{a}f(x) = 0$ и $\int\limits_{a}^{a+T}f(x) = \int\limits_{0}^{T}f(x)$

[kp9r4d]

$\frac{5 \pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi$

[Orkimed]

kp9r4d
Это я видел. . Каким образом $\pi$ взялись в пределах интегрирования?
Мои рассуждения.
Предположил, что $\int\limits_{-a}^{a+T}f(x)dx = \int\limits_{0}^{T}f(x)dx=0$ Далее $f(x)=\sin^5(x)\cos^8(x)$
$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2+2\pi}f(x)dx = \int\limits_{-\pi/2}^{0}f(x)dx + \int\limits_{-\pi/2}^{0}f(x)dx + \int\limits_{0}^{2\pi}f(x)dx+\int\limits_{2\pi}^{\pi/2+2\pi}f(x)dx$
$\int\limits_{2\pi}^{\pi/2+2\pi}f(x)dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}f(x)dx$
$\int\limits_{0}^{\pi/2}f(x)dx = \frac{8}{1287}$
$\int\limits_{-\pi/2}^{0}f(x)dx = -\frac{8}{1287}$
Итого $\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)dx$,который я посчитал и он тоже равен 0.
И никак не получается получить $\int\limits_{-\pi}^{\pi}$

[Otta]

(Оффтоп)

Когда-то ооочеень давно учительница в старших классах очень придирчиво требовала с нас говорить то, что пишем, словами. (Не подстрочный перевод, а смысл, конечно.) Помнится, мы ее страшно за это не любили. Попробуйте, полезный навык, это говорение.

Orkimed в сообщении #1200953 писал(а):

$\int\limits_{a}^{a+T}f(x) = \int\limits_{0}^{T}f(x)$

Для периодических функций интеграл по периоду не зависит от расположения отрезка. (Отрезок можно двигать, лишь бы длина оставалась равной периоду.)

Orkimed в сообщении #1200953 писал(а):

$\int\limits_{-a}^{a}f(x) = 0$

Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку - нулевой.

Разбиваем промежуток на два. Симметричный и длины, равной периоду. Первый - понятно, что с ним. Второй утаскиваем туда, где будет понятно. Ведь ему все равно, куда. Вы его только положите правильно.

По-моему, я много говорю.

[Sinoid]

Orkimed в сообщении #1200953 писал(а):

$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^5(x)\cos^8(x)$.

Забыто $dx$. Да и дальше не везде. Если так относиться к интегралам, могут возникнуть серьезные проблемы в понимании приложения определенных интегралов к физике. Orkimed, я не буду вникать в ваши выкладки, скажу только, что для вычисления исходного интеграла вполне подходит подстановка $-\cos x=t$

[Orkimed]

Otta
Подтвердили мои догадки. В wolfram'e нарисовал график этой функции и заметил, что можно было бы переместить пределы интегрирования до $-\pi\quad\pi $. Но были сомнения в правомерности таких заявлений.

(Оффтоп)

Спасибо, за совет. Попали в яблочко, частенько возникает проблема устного воспроизведения написанного.

-- 16.03.2017, 20:27 --

Огромное спасибо всем откликвнушнимся.

-- 16.03.2017, 20:29 --

Sinoid
Так и делал, когда его брал. Вытаскивал степень у $\sin(x)$ и использовал основное тригонометрическое тождество. Интеграл несложный. Интересно было не беря интеграл, узнать чему он равен.