Приветствую. Помогите, пожалуйста, разобраться с некоторыми задачами по теории меры. Вот они:
1) Пусть

- канторово совершенное множество. Является ли измеримой (здесь и далее измеримость - по Лебегу, и мера, соответственно, Лебега) функция

, равная

в точках

и равная

в точках

? Найти все точки разрыва этой функции. Какого они рода?
Насколько я понимаю, полученная функция измерима и точками ее разрыва являются концы выбрасываемых при построении

интервалов, причем все точки разрыва - первого рода?
2) Пусть

- характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция

измерима на

независимо от того, какова функция

.
Я рассуждал так: функция
Функция

равна нулю всюду на

, за исключением множества тех точек, где

- рационально. Таких точек счетное число, следовательно, функция

непрерывна почти всюду на

и, соответственно, измерима. Эти рассуждения верны?
3) Пусть

- функция, определенная на

. Найти меру графика этой функции на плоскости, если

-
а) непрерывна
б) монотонна
Мне кажется, что в обоих случаях мера будет равна нулю, однако придать рассуждениям формальный характер, к сожалению, не выходит.
Заранее всем огромное спасибо!