Три заряда на нити

[fred1996]

Даны три положительных заряда: $q_1, q_2, q_3$
Есть кольцевая веревка длины $l$, на которую и нанизаны все три заряда.
Трения нет. Определить конфигурацию установившегося равновесия.
Задачка достаточно простая, но с одной тонкостью.

К сожалению тривиального решения для 4 х зарядов на сфере нет, ну или я пока не нашел.
Так что если у кого есть идеи как сделать из сферы с 4-я зарядами конфетку, милости просим. У меня пока в голове крутится что-то типа 4 положительных заряда на сфере попарно связаны стержнями.

[mihiv]

$l_{12}=l\dfrac {\sqrt {q_1q_2}}{\sqrt {q_1q_2}+\sqrt {q_1q_3}+\sqrt {q_2q_3}}$ и т.д.

[fred1996]

Быстро, но не до конца
Так что балл снижается за неполное решение
И еще. Обычно я прошу школьников решить эту задачу двумя способами.
Каким способом вы решали?
Можно без подробностей.

[mihiv]

Пусть $q_1\geq q_2\geq q_3$. Кроме решения, приведенного ранее, есть еще одно: $l_{12}=\frac l2, l_{13}=l\dfrac {\sqrt {q_1}}{2(\sqrt {q_1}+\sqrt {q_2})}, l_{23}=l\dfrac {\sqrt {q_2}}{2(\sqrt {q_1}+\sqrt {q_2})}.$ Если выполнено неравенство $\sqrt {q_1q_2}\geq \sqrt {q_1}{q_3}+\sqrt {q_2q_3}$, то остается только это последнее решение.

fred1996 в сообщении #1200386 писал(а):

Каким способом вы решали?

Находил минимум потенциальной энергии.

[fred1996]

Это один.
А есть еще "школьный" вариант.

[dovlato]

Можно заметить, что отношение сторон угла с зарядом $q_1$ в вершине равно $\sqrt{q_2/q_3}.$
Ну и аналогичные отношения для остальных пар сторон. Вроде и всё. Задача красивая.

[Vince Diesel]

Обратная задача: пусть даны три точки на окружности. Можно ли им приписать ненулевые заряды, чтобы у системы получилось положение равновесия?

[fred1996]

dovlato в сообщении #1200645 писал(а):

Можно заметить, что отношение сторон угла с зарядом $q_1$ в вершине равно $\sqrt{q_2/q_3}.$
Ну и аналогичные отношения для остальных пар сторон. Вроде и всё. Задача красивая.

Ну а если вспомнить механику?

-- 15.03.2017, 08:02 --

Vince Diesel в сообщении #1200658 писал(а):

Обратная задача: пусть даны три точки на окружности. Можно ли им приписать ненулевые заряды, чтобы у системы получилось положение равновесия?

Проведем от всех трех точек на окружности радиусы и обозначим образовавшиеся углы:
$\alpha,\beta,\gamma$.
Теперь можно чисто геометрически сосчитать силы на заряды и применить условие связи: все элетростатические силы перпендикулярны окружности.
Откуда моментально следуют попарные соотношения между зарядами через эти углы:
$\frac{q_1}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{q_2}{\sin\frac{\beta}{2}}$
И два таких-же.
Есть естественное ограничение:
Эти углы должны быть меньше $\pi$

[dovlato]

Не знаю, о какой механике было сказано.
Соображения такие:
1. Натяжение нити везде одинаково. Как следствие - для каждого заряда результирующая сил натяжения - по биссектрисе своего угла.
2. Поэтому силы электростатич. отталкивания от двух других зарядов должны быть равны друг другу.
Далее, учитывая закон $\sim q/r^2$, понятно, что отношение сторон равно $\sqrt{q_2/q_3}.$

[fred1996]

dovlato в сообщении #1200711 писал(а):

Не знаю, о какой механике было сказано.
Соображения такие:
1. Натяжение нити везде одинаково. Как следствие - для каждого заряда результирующая сил натяжения - по биссектрисе своего угла.
2. Поэтому силы электростатич. отталкивания от двух других зарядов должны быть равны друг другу.
Далее, учитывая закон $\sim q/r^2$, понятно, что отношение сторон равно $\sqrt{q_2/q_3}.$

Собственно я это и имел ввиду.
Силы натяжения нити между жвумя зарядами в точности компенсируют силы электростатического отталкивания между ними.
Ну а сила нятяжения нити везде одна.

[Vince Diesel]

fred1996 в сообщении #1200669 писал(а):

Есть естественное ограничение:
Эти углы должны быть меньше $\pi$

Если один из углов больше $\pi$, то у меня (прикидывая мысленно, без подсчетов), вроде как выходит, что один отрицательный заряд в центре и два положительных по бокам подойдут. Вот когда угол равен $\pi$, похоже, не выйдет.