Как проверить выпуклость фигуры ABCD на плоскости

[Профессор Снэйп]

Даны координаты четырёх точек ($A$, $B$, $C$ и $D$) на плоскости. Как проще всего ("минимальным" количеством вычислений) определить, является ли фигура $ABCD$ выпуклым четырёхугольником?

[Echo-Off]

Не уверен, что так проще всего, но всё же:

Надо проверить, что точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $BD$, и точки $B$ и $D$ - по разные стороны прямой $AC$. Для того, чтобы проверить первую вещь, надо посчитать векторные произведения $[BA,\,BD]$ и $[BD,\,BC]$ и посмотреть, одинаковый ли у них знак.

[Профессор Снэйп]

То есть посчитать четыре векторных произведения, в каждом из которых нужно считать только одну координату. Да, это, наверное, действительно самое простое.

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

в каждом из которых нужно считать только одну координату

Что значит "одну координату"? На плоскости вроде бы векторное произведение - это число, и никаких координат у него нет

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

в каждом из которых нужно считать только одну координату

Что значит "одну координату"? На плоскости вроде бы векторное произведение - это число, и никаких координат у него нет

Я не знал, что на плоскости определено векторное произведение.

[Echo-Off]

Профессор Снэйп писал(а):

Я не знал, что на плоскости определено векторное произведение

Век живи, век учись
$x=(x_1,\,x_2)$, $y=(y_1,\,y_2)$ $\Rightarrow$ $[x,\,y] = x_1y_2-x_2y_1$

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Echo-Off писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

в каждом из которых нужно считать только одну координату

Что значит "одну координату"? На плоскости вроде бы векторное произведение - это число, и никаких координат у него нет

Я не знал, что на плоскости определено векторное произведение.

Никто не может запретить обозвать антисимметричную билинейную форму векторным произведением. Раз уж симметричная обзывается скалярным.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Никто не может запретить обозвать антисимметричную билинейную форму векторным произведением. Раз уж симметричная обзывается скалярным.

Не учите детей неправильному! Положительно определенная симметричная .....

[ewert]

я не детей, и из положительной определённости не следует отрицания симметричности, не говоря уж о псевдоскалярностях.

[Brukvalub]

Вот Ваши слова:

ewert писал(а):

Раз уж симметричная обзывается скалярным.

По-моему, их понимание однозначно - симметричная билинейная форма обзывается (в нормах литературного русского языка последнее слово заменяют словом "называется") скалярным произведением. Про положительную определенность ничего не сказано, поэтому я и указал Вам на фактическую ошибку в определении, про псевдо-квази-ультра-и прочие как-бы скалярные произведения в цитированных мной Ваших словах тоже ничего нет.

[ewert]

нет, всё же зануда

нг:

Замечание за переход на личности

[Brukvalub]

ewert писал(а):

нет, всё же зануда

Единственное, чем вы можете ответить на справедливое замечание о сделанной вами ошибке, так это оскорблением. Что-ж, это тоже стиль поведения, и вы очень последовательно его придерживаетесь.

[Mikhail Sokolov]

Важна ли последовательность вершин 4-х угольника в порядке $ABCD$ или вопрос просто в том, образуют ли 4 точки с соответствующими координатами выпуклый четырехугольник?
В последнем случае можно для каждой из 4-х точек проверить, лежит ли она внутри треугольника с вершинами из оставшихся 3-х точек.

[Профессор Снэйп]

Последовательность, конечно же, важна.

[Zai]

Векторные произведения образованные по вершинам B,C,D,A у выпуклого четырехугольника одного знака
$[AB,\,BC]$
$[BC,\,CD]$
$[CD,\,DA]$
$[DA,\,AB]$

То произведение, которое отличается знаком от трех оставшихся будет давать вершину невыпуклости.