Доказать неравенство

[Rusit8800]

Докажите, что если ${x_1} \geqslant {x_2} \geqslant ... \geqslant {x_n} \geqslant 0$ и $\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...\frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$, то выполнено неравенство

$$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \leqslant 1$$

Я пытался воспользоваться тем, что

$${\left( {\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...+ \frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }}} \right)^2} = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...+ \frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$$

но такое преобразование мало что дало. Ну, а еще я заметил, что $1 \geqslant {x_1}$. В принципе все. Можете дать дополнительные указания?

[RIP]

Попробуйте доказать более сильное (но более простое) утверждение: если $y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant\dotsb\geqslant y_{n}\geqslant0$, $y_{1}+y_{2}+\dotsb+y_{n}=1$, то $y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+\dotsb+ny_{n}^{2}\leqslant1$.

[Shadow]

$x_1^2\le \dfrac{x_1}{\sqrt 1},\;x_2^2\le \dfrac{x_2}{\sqrt 2},\;x_3^2\le \dfrac{x_3}{\sqrt 3}\cdots$

[DeBill]

(Оффтоп)

Загатка: Балшой, белый, пушистый, висит на стене и пищит

А я угадал!
Давайте ослабим условия:$y_1 \geqslant y_2 \geqslant ...\geqslant y_n \geqslant 0$,
$y_1 +y_2 +...+ y_n =1$
но усилим заключение: $y_1^2 + 3y_2^2 + 5y_3^2 +...+ (2n-1)y_n^2 \leqslant 1$.
Получится известная задача, решаемая рисованием квадрата один на один, проведением вертикальных-горизонтальных прямых, и надписью СМОТРИ!

[Rusit8800]

Shadow в сообщении #1200012 писал(а):

$x_1^2\le \dfrac{x_1}{\sqrt 1},\;x_2^2\le \dfrac{x_2}{\sqrt 2},\;x_3^2\le \dfrac{x_3}{\sqrt 3}\cdots$

Мда, хороший шаг к доказательству, только вот как это показать?

[Shadow]

Rusit8800 в сообщении #1200058 писал(а):

только вот как это показать?

Если допустим, что для некоторого $k$, $x_k>\dfrac{1}{\sqrt k}$, то $\dfrac{x_k}{\sqrt k}>\dfrac 1 k$, а предыдущие слагаемые уж всяко болше данного...и в сумме что?

[Rusit8800]

Shadow в сообщении #1200069 писал(а):

Если допустим, что для некоторого $k$, $x_k>\dfrac{1}{\sqrt k}$, то $\dfrac{x_k}{\sqrt k}>\dfrac 1 k$, а предыдущие слагаемые уж всяко болше данного...и в сумме что?

Честно, не уловил мысль.

[Shadow]

Rusit8800 в сообщении #1199962 писал(а):

${x_1} \geqslant {x_2} \geqslant ... \geqslant {x_n} \geqslant 0$ и $\frac{{{x_1}}}{{\sqrt 1 }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt 2 }} + ...\frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} = 1$

Слагаемые в данной сумме уменьшаются. Потому что по условию числители не увеличиваются, а знаменатели увеличиваются. (случай с нулями тривиален).

И для каждого слагаемого данной суммы можно сказать, что $\dfrac{x_k}{\sqrt k} \le \dfrac{1}{k}$ (иначе сумма первых $k$ слагаемых превзойдет 1).

(Оффтоп)

Я сам себе делаю замечание, просто не люблю когда меня не понимают.

[Rusit8800]

Shadow в сообщении #1200402 писал(а):

иначе сумма первых $k$ слагаемых превзойдет 1

Это от противного доказывать, просто не очевидно?

-- 16.03.2017, 21:48 --

Хотя нет, очевидно.