стереометрия (Сфера, тетраэдр)

[Rony]

Подскажите, пожалуйста, как решать:
В сфере, радиус которой равен 10, проведена хорда AB=12, а на прямой, удалённой от центра сферы на расстояние, равное 14, выбран отрезок CD=15. Найдите наибольшее из возможных значений объёма тетраэдра ABCD.

PS. Решить, используя "школьные" навыки.

[Профессор Снэйп]

Координатный метод считается "школьным"?

[Brukvalub]

Докажите теорему: Объем произвольной пирамиды равен уменьшенному в три раза произведению длины ее бокового ребра на площадь ортогональной проекции ее основания на плоскость, этому ребру перпендикулярную. С помощью такой теоремы задача легко решается.

[Батороев]

Brukvalub писал(а):

Докажите теорему: Объем произвольной пирамиды равен уменьшенному в три раза произведению длины ее бокового ребра на площадь ортогональной проекции ее основания на плоскость, этому ребру перпендикулярную.

А максимальное значение объем приобретет, когда максимальна ортогональная проекция основания, т.е. равна самому основанию.
А в таком случае, ребро будет являться высотой.
А в этом случае, теорему и доказывать не придется.

Далее необходимо рассмотреть, когда будет максимальным основание.
Для этого необходимо изобразить две окружности с одним центром: $r_1=10$, $r_2=14$.
В окружности $r_1$ провести хорду $AB$.
Разные точки окружности $r_2$ (проекции высоты $CD$ на основание) соединить с концами хорды и догадаться, в каком случае площадь полученного треугольника (основания) будет максимальной.

[Rony]

Цитата:

Разные точки окружности $r_2 (проекции высоты CD на основание) соединить с концами хорды и догадаться, в каком случае площадь полученного треугольника (основания) будет максимальной.

Вот этот шаг непонятен. Можно поподробнее?

[Батороев]

Из первоначальных рассуждений (включая цитату Brukvalub'a) мы выяснили, что оптимальным для наибольшего объема тетраэдра является тот случай, когда ребро $CD$ перпендикулярно основанию, поэтому далее можно рассмотреть, выражаясь по-констукторски, "вид сверху" на тетраэдр.

На "виде сверху" мы видим проекцию сферы радиуса $10$ (окружность $r_1$) и хорду $AB$.
Далее в условии сказано, что $CD$ находится на прямой, проходящей на расстоянии $14$ от центра сферы. Т.к. проекцией высоты на "виде сверху" является точка, то ГМТ положений $CD$ будет являться окружность $r_2$.
Соединяя любую точку окружности $r_2$ с концами хорды $AB$, мы тем самым получаем возможные треугольники основания тетраэдра.
Из этих треугольников, для того чтобы получить наибольший объем тетраэдра, необходимо выбрать тот, площадь которого будет наибольшей.