Множество на прямой: замыкание, внутр. точка...

[Trueman]

Вот интересная на мой взгляд задачка
Если множество $E \subset \mathbb{R}$ обладает свойством: $\forall x,y\in E \,\,\exists z\in E$ такое, что $x<z<y$ Обязательно ли замыкание множества Е имеет внутреннюю точку? (Считаем что Е содержит хотя бы две точки)

[Руст]

Нет. Пример обединение открытых интервалов (1/2n,1/(2n-1)). 0 принадлежит замыканию E, но никакая её окрестность не содержится в замыкании E.

[Руст]

Ой, я извиняюсь, речь идёт не об этом.

[Руст]

Возьмём Канторово множество имеющие в троичном исчислении только нули и двойки без счётного множества точек заканчивающихся начиная с некоторого номера на одни нули или двойки. Замыкание этого множества не имеет внутренних точек и обладает указанным свойством.

[Trueman]

Руст писал(а):

Возьмём Канторово множество имеющие в троичном исчислении только нули и двойки без счётного множества точек заканчивающихся начиная с некоторого номера на одни нули или двойки. Замыкание этого множества не имеет внутренних точек и обладает указанным свойством.

Например, взять канторово множество без концевых точек выкидываемых интервалов, у них у всех в периоде нуль, если считать двойку в периоде в троичной системе не допустимой записью. Можно в принципе выкинуть все рациональные точки.

[Руст]

Замыкание любого подмножества E обладающего этим свойством так же не имеет внутренних точек. Так что можно выкинуть из этого канторова множества и несчётное количество точек, лишь бы исходное свойство не нарушалось. А точки границы, являющееся множесвом вида p/3^n, p и n неотрицательные целые необходимо выбросить, для удовлетворения этому свойству.

[Руст]

Я думаю задача станет более интересной, когда E считается замкнутой и удовлетворяющей указанному свойству. При этом надо доказать, что Е является замкнутым интервалом (a,b) при этом a можеть равняться минус бесконечности, b плюс бесконечности.

[Someone]

Руст писал(а):

Я думаю задача станет более интересной, когда E считается замкнутой и удовлетворяющей указанному свойству. При этом надо доказать, что Е является замкнутым интервалом (a,b) при этом a можеть равняться минус бесконечности, b плюс бесконечности.

Это будет очень простая задача. Если множество $E$ не является замкнутым промежутком числовой прямой, то найдётся такая точка $a\in\mathbb R$, что $E_-=E\cap(-\infty,a)\ne\varnothing$ и $E_+=E\cap(a,+\infty)\ne\varnothing$. Положим $b=\sup E_-$ и $c=\inf E_+$. Тогда $(b,c)\cap E=\varnothing$, что противоречит определению множества $E$.
Первоначальная задача была интереснее, хотя, конечно, тоже несложная. Можно и счётное множество с таким свойством указать.

А вот интересно построить на плоскости такое множество, которое с каждой прямой пересекается ровно в двух точках (или более общая задача: для каждой пары натуральных чисел $m>1$ и $n>m$ построить подмножество $M_{m,n}\subset\mathbb R^n$, которое с каждым линейным многообразием $M\subset\mathbb R^n$ размерности $m$ пересекается ровно в $m+1$ точке). Для прямых в $\mathbb R^n$ такое множество существует, а для линейных многообразий большей размерности надо проверить некоторые детали.

[Руст]

Соответствующая алгебраическая кривая в проективном n мерном пространстве над алгебраический замкнутым полем приводится почти в каждом учебнике по алгебраической геометрии. Аналоги этой кривой над конечными полями имеют многоприложений в теории кодирования, в многомерных кубатурных формулах.
Однако для обычной плоскости R^2 я ничего не мог придумать. Мало того, есть основания полагать, что это неверно. Поэтому, прошу подтвердить, что здесь нет ошибки в формулировке задачи.

[Someone]

Руст писал(а):

Соответствующая алгебраическая кривая в проективном n мерном пространстве над алгебраический замкнутым полем приводится почти в каждом учебнике по алгебраической геометрии. Аналоги этой кривой над конечными полями имеют много приложений в теории кодирования, в многомерных кубатурных формулах.
Однако для обычной плоскости R^2 я ничего не мог придумать. Мало того, есть основания полагать, что это неверно. Поэтому, прошу подтвердить, что здесь нет ошибки в формулировке задачи.

Для $\mathbb R^2$ точно существует, это очень давний результат (я о нём слышал примерно в 1969-70 году, когда был студентом третьего курса). Но множество это, конечно, достаточно "чудное" и строится средствами теории множеств с аксиомой выбора.

[Руст]

Я искал в виде конечного числа непрерывных кусков и получал, что это не имеет места для такого множества.
Конечно аксиома выбора дает много примеров, не укладывающихся интуиции.
На самом деле можно построить и конструктивном образом для $Q^2$, а потом его распространить на действительную плоскость заменяя мат. индукцию трансфинитной.
Приведу этот пример. Упорядочим плоскость из рациональных точек (т.е. занумеруем все точки). Берём вначале первые две точки плоскости. Далее берём первую по номеру точку не лежащую на прямой, соединяющей первые две точки. После выбора k точек, берём первую по номеру точку, которая не принадлежит образовавшимся k(k-1)/2 прямым. Последовательность точек конструктивная и удовлетворяет условиям. На действительную плоскость распространяется трансфинитной индукцией.

[Руст]

Предыдущее решение не совсем точно, так могут остаться прямые без точек. Точнее ещё надо доказать, что это не происходит. Поэтому, лучше нумеровать все прямые. Берём на первой прямой две произвольные точки, берём вторую прямую, и берём там одну точку, если на этой прямой уже лежит одна из ранее выбранных точек, иначе две точки, не совпадающие с пересечениями этой прямой со всеми прямыми (даже не выбранных), проходящими через две ранее выбранных точек. В этом случае указанная проблема не возникает.

[Someone]

Руст писал(а):

... Поэтому, лучше нумеровать все прямые. Берём на первой прямой две произвольные точки, берём вторую прямую, и берём там одну точку, если на этой прямой уже лежит одна из ранее выбранных точек, иначе две точки, не совпадающие с пересечениями этой прямой со всеми прямыми (даже не выбранных), проходящими через две ранее выбранных точек.

Ну да, так и строится для действительной плоскости (и для произвольного действительного линейного пространства мощности континуум; никакой топологической структуры не предполагается). Все прямые нужно перенумеровать ординалами, меньшими первого ординала мощности континуум, и соображения мощности позволяют повторить Ваше рассуждение для этого случая.

Наиболее общее утверждение такого рода:
Если $K$ - линейное пространство мощности континуум над полем $\mathbb R$, то для каждого целого $n\geqslant 0$ существует подмножество $X_n\subseteq K$, имеющее с каждым $n$-мерным линейным многообразием $M\subseteq K$ ровно $n+1$ общую точку.

При $n=0$ это утверждение тривиально ($X_0=K$). Если $K$ конечномерно и $\dim K\leqslant n$, то утверждение тоже тривиально ($X_n\subseteq K$ любое, если $\dim K<n$, и $X_n\subseteq K$ - любое $(n+1)$-точечное множество, если $\dim K=n$).
Если же $1<n<\dim K$, то соображения мощности также помогают, но применять их не столь просто, как при $n=1$.