Интегрирование тригонометрических выражений

[Sinoid]

Genuster в сообщении #1199162 писал(а):

Вполне ясно, для чего она, не ясно, как получили это?

Что это-то? Вот это

Ms-dos4 в сообщении #1199122 писал(а):

$\[{a_1}\sin x + {b_1}\cos x = \frac{{a{a_1} + b{b_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}(a\sin x + b\cos x) + \frac{{a{b_1} - b{a_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}\frac{d}{{dx}}(a\sin x + b\cos x)\]$?

что ли? Так для себя просто раскрываете производную в правой части и группируете слагаемые с синусом и косинусом, упрощаете-сокращаете, убеждаетесь, что это все равно левой части и потом просто обращаете выкладки (имеете право: вы ничего не возводите в квадрат и т.д. и т.п.) и записываете доказательство начисто. А как получено? Да угадал, я не знаю, во сне увидел кто-то (какая разница?).

(Оффтоп)

может, это и не в тему, тут спор вокруг независимости, я же просто писал, как получена эта формула

[ewert]

Sinoid в сообщении #1199208 писал(а):

я же просто писал, как получена эта формула

Ещё раз: она не получена, она (формула из стартового поста) потребована.

Что же до окончательного решения, то ТС вроде как ни разу в нём и не сомневался. Ему непонятно лишь, как на эту процедуру вышли. Что заставило.

Ну что тут скажешь. Жизненный опыт заставил, естественно. Знание линейной алгебры и того, что и в махровом матане она частенько бывает полезна. Например, при интегрировании рациональных дробей (при его формальном обосновании) без линала никуда. А эта тема -- вполне идеологически родственна выделению целой части из неправильной рациональной дроби.

[Genuster]

Спасибо!

[Sinoid]

Мне на будущее объясните, пожалуйста.

ewert в сообщении #1199220 писал(а):

Ещё раз: она не получена, она (формула из стартового поста) потребована.

Как понять, потребована? Вот, например, разложение рациональных функций на простейшие дроби тоже потребовано?

[Genuster]

Sinoid в сообщении #1199429 писал(а):

Вот, например, разложение рациональных функций на простейшие дроби тоже потребовано?

Ну, Фихтенгольц сначала говорит, что "каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей", а потом уже просто доказывает, что оно так работает. Никаких объяснений, как на это вышел человеческий мозг, я не нашел .
У Демидовича, тут, кстати, обнаружил еще несколько подобных разложений для разных вариаций тригонометрии (как у меня в первом посте).

P. S. Было бы вообще круто найти весь набор подобных разложений в одном месте, только непонятно даже по какому ключу искать:) Просто "разложение" выводит лишь на многочлены.

[Munin]

Давайте вот так сделаем. Вдруг это будет прозрачней.

В школе проходят, что можно записать

$a\sin(x)+b\cos(x)=r\sin(x+\varphi).$

То есть, любую синусоиду можно задать амплитудой и фазой.

(Details)

Если интересно, то доказательство проще всего показать в обратную сторону:

$r\sin(x+\varphi)=r\cos(\varphi)\cdot\sin(x)+r\sin(\varphi)\cdot\cos(x).$
То есть, по формуле синуса суммы у нас сразу получается выражение "синус плюс косинус". Надо только проверить, что в прямую сторону у нас всегда можно подобрать соответствующие величины $r$ и $\varphi.$ У нас сейчас получилось

$a=r\cos(\varphi),\quad b=r\sin(\varphi).$
Комбинируя их по-разному, получаем

$a^2+b^2=r^2,\quad \dfrac{b}{a}=\tg(\varphi),$
откуда

$r=\sqrt{a^2+b^2},\quad\varphi=\arctg_2\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr).$
Обозначение $\arctg_2$ - это обычный арктангенс, с уточнением, что если вдруг окажется $a=0,$ то $\varphi=\pm\tfrac{\pi}{2},$ в зависимости от знака $b.$

Сделаем аналогично и в числителе:

$a_1\sin(x)+b_1\cos(x)=r_1\sin(x+\varphi_1).$

И теперь, мы можем выделить в фазе фазу знаменателя, и добавку:

$\ldots=r_1\sin(x+\varphi+\varphi_2).$

Эту формулу мы можем разложить как синус суммы:

$r_1\sin(x+\varphi+\varphi_2)=r_1\cos(\varphi_2)\cdot\sin(x+\varphi)+r_1\sin(\varphi_2)\cdot\cos(x+\varphi).$

И теперь мы видим, что первое слагаемое имеет такой же синус, как в знаменателе, а второе - соответствующий косинус. А косинус - это производная от синуса!

$\ldots=r_1\cos(\varphi_2)\cdot\sin(x+\varphi)+r_1\sin(\varphi_2)\cdot\bigl(\sin(x+\varphi)\birg)'.$

Вот, по сути, что и как происходит. Таким путём это разложение могло бы быть угадано. Просто его записали люди, более опытные в обращении с "комбинациями синуса и косинуса", и им не обязательно было так упрощённо всё выписывать.

-- 12.03.2017 17:34:24 --

Genuster в сообщении #1199495 писал(а):

Ну, Фихтенгольц сначала говорит, что "каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей", а потом уже просто доказывает, что оно так работает. Никаких объяснений, как на это вышел человеческий мозг, я не нашел :lol: .

Довольно часто это процесс индуктивный: то есть, люди работают с одним примером, с другим, с третьим... Замечают общую закономерность. Выдвигают гипотезу (это пока ещё догадка, а не правда). Пытаются дальше эту гипотезу доказать. Часто из других соображений. Иногда получается, а иногда - нет. Бывает, что доказывают противоположное утверждение. Бывает, что находят контрпример.

[arseniiv]

(Арктангенс)

Munin в сообщении #1199506 писал(а):

Обозначение $\arctg_2$ - это обычный арктангенс, с уточнением, что если вдруг окажется $a=0,$ то $\varphi=\pm\tfrac{\pi}{2},$ в зависимости от знака $b.$

Не только. Дробь сохранит значение, если у обоих $a,b$ сменить знак, но значение $\arctg_2$ от этих параметров изменится на $\pm\pi$.

[Genuster]

Munin
О! Этого я хотел, спасибо, теперь понятно, что Ms-dos4 писал.
Аж на душе легче стало

[Sinoid]

Munin, я знаю, как доказывалась эта формула.

Munin в сообщении #1199506 писал(а):

Просто его записали люди, более опытные в обращении с "комбинациями синуса и косинуса", и им не обязательно было так упрощённо всё выписывать.

Так и я про то же. Но все-таки, перед тем как эта формула была потребована в учебнике, авторы были уверены, пусть даже только в мыслях, что эта формула может быть доказана. А вышли они на нее опять-таки путем с использованием гипотезы, упомянутым Munin'ым.

[Munin]

Sinoid в сообщении #1199561 писал(а):

Munin, я знаю, как доказывалась эта формула.

А я и не вам писал. С чего вы взяли?

[sergei1961]

Попробуйте этим методом найти интеграл

$$ \int\frac{\cos(x)}{1+\cos(x)+\sin(x)}\,dx. $$

Кстати версия Mathcad, которая стоит у меня на работе, считает этот интеграл неверно, с ошибкой.

[Genuster]

sergei1961
А в чем проблема, собственно?)
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln(\cos(x)+\sin(x)+1)-\frac{1}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\cos(x)+\sin(x)+1}$
Универсальную​ тригонометрическую, уж извините, лень делать:)

-- 12.03.2017, 23:32 --

Munin
Кстати, а преобразование синуса и косинуса к синусу с амплитудой и фазой ничем не ограничено? Можно же использовать его вместо универсальной тригонометрической подстановки в примере выше?

[warlock66613]

Genuster в сообщении #1199650 писал(а):

А в чем проблема, собственно?

В том, что интеграл этим методом (то есть без универсальной тригонометрической подстановки) вы найти не смогли?

[Munin]

Genuster в сообщении #1199650 писал(а):

Кстати, а преобразование синуса и косинуса к синусу с амплитудой и фазой ничем не ограничено?

Ну как это? Вот есть линейка, очень удобный инструмент, его применение ничем не ограничено. Но вот забивать гвозди, добывать огонь или программировать на C++ она не очень поможет. Так и с интегралами, их бывает много разных.

[Genuster]

warlock66613 в сообщении #1199661 писал(а):

В том, что интеграл этим методом (то есть без универсальной тригонометрической подстановки) вы найти не смогли?

Буквально через пару минут, вон, смог