Принцип Дирихле

[Sinoid]

Здравствуйте! Столкнулся вот с чем:

Не пойму, а вот как к этому утверждению относиться: это, там, аксиома или теорема или что-то еще? Мне кажется, что это все-таки аксиома в чистом виде (во всяком случае, в контексте книги Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс) скажите, пожалуйста, я правильно понимаю?

[arseniiv]

Теорема должна быть, раз уж мы говорим о функциях и, стало быть, находимся в рамках теории множеств.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1199445 писал(а):

Теорема должна быть

А почему называется принципом?

[arseniiv]

Не знаю. Много что называется принципом, притом нередко в силу традиции.

[Sinoid]

Спасибо.

[Евгений Машеров]

Сам Дирихле слово "принцип" не употреблял, оно стало употребляться позже, когда это простое соображение стало применяться многочисленными авторами. Есть ссылка на то, что впервые о "принципе" заговорили в работе 1940 года, но, возможно, было и ранее. В немецких именовали Schubfachschluss, с упоминанием Дирихле или без оного (а иногда приписывали Дедекинду). Вообще-то это теорема или лемма, легко доказываемая "от противного", но по её очевидности доказательства Дирихле не приводит.

[Sinoid]

Евгений Машеров в сообщении #1199796 писал(а):

Вообще-то это теорема или лемма, легко доказываемая "от противного", но по её очевидности доказательства Дирихле не приводит.

Слово "принцип" в названии утверждения не является признаком его легкодоказуемости. К примеру, принцип неподвижной точки доказывается (хотя, конечно, я этого доказательства и не понимаю, да и не до него сейчас) как полноценная теорема. Кстати, у Шилова написано: Теорема (принцип неподвижной точки) и т. д.

[Евгений Машеров]

Ещё раз. Слова "принцип" и "теорема" из разных логических рядов. Аксиома, теорема, лемма, следствие - это о том, как доказывается. А "принцип" это как используется. Когда стали использовать в разных задачах, и с успехом, дали специальное название. Которое отражает не то, сложно ли доказывать, а то, что удобно применять в доказательствах, как нечто общее.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1199885 писал(а):

. Которое отражает не то, сложно ли доказывать, а то, что удобно применять в доказательствах, как нечто общее.

Вот, оказывается, почему пишут well-ordering principle.

[Padawan]

Принцип Дирихле следует из теоремы о том, что конечное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству.