дифференцируемость

[ILIYA01]

Пусть дана функция $f(x) = \sqrt{16 - x^2} $ ee $D(f) = \left[-4;4\right]$. Вопрос: дифференцируема ли она на $D(f)$?

[T-Mac]

да

[ILIYA01]

А мой преподаватель сказал, что это не совсем так. По-моему он имеет в виду, что она дифференцируема только на$(-4;4)$.

[ShMaxG]

Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна.

[ILIYA01]

ShMaxG, спасибо, я знаю определение дифференцируемой функции. Наверное, вы намекаете на то, что если подставить точки x=4 и =-4 в производную, то получится что-то плохое. Теперь я это осознал. Спасибо за помощь.

[ewert]

Вообще-то ещё смотря что называть дифференцируемостью. Стандртно под этим понимают существование двусторонних производных. На концах отрезка их в любом случае нет -- по определению. Даже бесконечных.

[Попов А.В.]

ewert писал(а):

Вообще-то ещё смотря что называть дифференцируемостью. Стандртно под этим понимают существование двусторонних производных. На концах отрезка их в любом случае нет -- по определению. Даже бесконечных.

Указана область определения функции, поэтому на концах отрезка рассматриваются только односторонние пределы. Ситуация в том, что для данного случая даже их (пределов) не существует.

[Brukvalub]

ILIYA01 писал(а):

ShMaxG, спасибо, я знаю определение дифференцируемой функции. Наверное, вы намекаете на то, что если подставить точки x=4 и =-4 в производную, то получится что-то плохое. Теперь я это осознал. Спасибо за помощь.

Производная не всегда получается подстановкой чего-то в формулу. У этой функции именно потому нет производных в точках x=4 и =-4, что

Попов А.В. писал(а):

для данного случая даже их (пределов) не существует.

То есть нужно не подставлять чего-то там в какую-то формулу, а проверять наличие производной в соответствии с определением!

[ILIYA01]

Спасибо за прояснение. Все немного сложней, чем я думал. Я проверил существование производной по определению в точке x=4 и получил неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

[Brukvalub]

ILIYA01 писал(а):

Спасибо за прояснение. Все немного сложней, чем я думал. Я проверил существование производной по определению в точке x=4 и получил неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Эта неопределенность легко раскрывается.

[ILIYA01]

Да, поторопился. Получается $\lim \limits_{x \to 4} -\frac{\sqrt{4 + x}}{\sqrt{x - 4}}$.Так?

[ewert]

Почти (знаки перепутаны). Плюс замена $4-x=t$, и финиш.

[ILIYA01]

Извиняюсь, должно быть так: $\lim \limits_{x \to 4} -\frac{\sqrt{4 + x}}{\sqrt{4 - x}}$.
По-моему, замена здесь не нужна, и так все понятно.

[ewert]

Тоже верно.

Только теперь Вы со знаками перестарались -- производная на правом конце хоть и бесконечность, но минус.

[ILIYA01]

ewert, у меня вроде бы так и есть.