Определенный интеграл и универсальная подстановка

[dima_1985]

Существует такой интеграл $\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\frac{\sin(x)dx}{\cos^2(x)+1}$. Решил его подстановкой $t=\tg(x/2)$. Получил $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{2tdt}{1+t^4}$. Делаем подстановку $u=t^2$. Получим $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{du}{1+u^2}=\lim_{b\to\infty}\arctg(b)-\pi/4=\pi/2-\pi/4=\pi/4$. Ответ правильный. Вопрос состоит в том, корректно использовать замену $t=\tg(x/2)$?

[SomePupil]

(Оффтоп)

dima_1985 в сообщении #1198976 писал(а):

Вопрос состоит в том, корректно использовать замену $t=\tg(x/2)$

Можно намного проще.

[dima_1985]

SomePupil это понятно можно использовать $t=\cos(x)$ и не возиться с тангенсом, но вопрос именно в подстановке $t=\tg(x/2)$.

[SomePupil]

А, так вот Вы о чем!

Ради большей политкорректности, можно рассмотреть интеграл как интеграл с переменным верхним пределом.

[Metford]

dima_1985
Так ведь есть теорема о замене переменной в определённом интеграле. В её формулировке есть вполне определённое условие (вполне естественное), которое накладывается на функцию, используемую при подстановке. Вы эту теорему знаете?

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1198976 писал(а):

Вопрос состоит в том, корректно использовать замену $t=\tg(x/2)$?

Корректно в том смысле, что никто не запрещает заменить в исходном интеграле $\int_a^b$ на $\lim\limits_{\varepsilon\to+0}\int_a^{b-\varepsilon}$. И именно потому, что никто не в силах этот трюк запретить -- никто его в явном виде и не оформляет.

[dima_1985]

Вычитал про другой подход $F(x)=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$. $F(x)$ есть первообразная функции $f(x)$. Рассмотрим не определенный интеграл $\int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)+1}$. Решим его заменой $t=\tg(x/2)$. Получим $F(x)=\arctg(\tg^2(x/2))+C $. Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной $f(x)$: 1)$F(x)$ непрерывна $[a,b]$ 2)$F'(x)=f(x)$ в точках непрерывности. Доопределим и получим
$ F(x)=\begin{cases} \arctg(\tg^2(x/2)),&\text{если }\pi/2\leq x<\pi;\\ \pi/2,&\text{если }\pi;\\ \end{cases}$
. Тогда $F(\pi)-F(\pi/2)=\pi/4 $. В учебнике рассмотрен пример $\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{dx}{1+0.5\cos(x)}$. Там также рассматривают неопределенный интеграл, решают его при помощи замены $x=\tg(x/2)$. Получают $F(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}\arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}\tg(x/2))+C$. В точке $x=\pi$ точка разрыва. Доопределим и получили
$F(x)=\begin{cases} \frac{4}{\sqrt{3}}\arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}\tg(x/2)),&\text{если }0\leq x<\pi;\\ \frac{2\pi}{\sqrt{3}},&\text{если }x=\pi;\\ \frac{4}{\sqrt{3}}\arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}\tg(x/2))+\frac{4\pi}{\sqrt{3}},&\text{если }\pi<x\leq2\pi;\\ \end{cases}$. Непонятно как они получили $+\frac{4\pi}{\sqrt{3}}$ в условие $ \pi<x\leq2\pi$? Подскажите пожалуйста.

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1199076 писал(а):

как они получили $+\frac{4\pi}{\sqrt{3}}$ в условие $\text{если }\pi\le x\le 2\pi$?

Просто прибавили пи к арктангенсу. А решение это годится только если нужна именно первообразная, для нахождения определённого интеграла оно несколько нелепо.

[arseniiv]

dima_1985 в сообщении #1199076 писал(а):

$F(x)=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$. $F(x)$ есть первообразная функции f(x).

Ошибка в пределах интегрирования.

[dima_1985]

arseniiv
Вы правы $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)dt$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

post1199076.html#p1199076
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[bot]

dima_1985, а на кой нужна первообразная на всей числовой оси, если интервал совершенно конкретный? На этом конкретном интервале, в отличии от задачи нахождения первообразной на всей числовой прямой, не возникает проблем со стыковкой первообразных на промежутках.
Таким образом,

ewert в сообщении #1199079 писал(а):

для нахождения определённого интеграла оно несколько нелепо.

Из этой же серии, если вместо разложения функции в ряд по степеням $x$ для для вычисления её производных в нуле хотят найти производные в любой точке, чтобы потом подставить вместо этой любой точки нуль.

(Оффтоп)

Помню, встречал где-то вопрос на форуме - как сосчитать $n$ - производную функции, что-то типа $x^3\arcsin x^5?$
Кто, что ему советовал, пока кто-то не догадался спросить - а зачем это надо? Ответ был - а я потом нуль вместо икса подставлю.