Электронный газ в цилиндре

[fred1996]

Пусть у нас имеется цилиндр радиуса $R$ ось которого параллельна оси $z$, внутри которого имеется однородное магнитное поле $B$, направленное тоже вдоль оси $z$ по всему его объему.
Внутри цилиндра летают электроны с зарядом $e$ массой $m$ и одинаковой скоростью $v$. Все скорости только в плоскости $xy$. Концентрация электронов в цилиндре $n$. Электроны сталкиваются со стенками цилиндра абсолютно упруго. Между собой они никак не взаимодействуют. Определить давление электронов на стенки сосуда.

Откуда задача вообще не помню.

[mihiv]

$p=\frac 12nmv^2$

[fred1996]

mihiv в сообщении #1198252 писал(а):

$p=\frac 12nmv^2$

Cool!
Конечно, это была задача-шутка.
Интересно, сколько товарищей ринулось честно считать интегралы?

[amon]

fred1996 в сообщении #1198279 писал(а):

Интересно, сколько товарищей ринулось честно считать интегралы?

А это, вообще говоря, неправильный ответ. Попробуйте решить почти такую же задачу:
Внутри цилиндра летят невзаимодействующие электроны с зарядом $e$ массой $m$ и одинаковой скоростью $v,$ направленной вдоль оси цилиндра. В некоторый момент было включено магнитное поле $B$, направленное тоже вдоль оси цилиндра по всему его объему. Определить давление электронов на стенки цилиндра.
Только эта задача совсем не школьная, хотя является частью Вашей задачи. Для простоты, цилиндр можно заменить плоскостью, а поле направить перпендикулярно скорости и параллельно плоскости, тогда чуть по проще будет, но все равно, это скорее аспирантский уровень.

[fred1996]

amon в сообщении #1198292 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198279 писал(а):

Интересно, сколько товарищей ринулось честно считать интегралы?

А это, вообще говоря, неправильный ответ. Попробуйте решить почти такую же задачу:
Внутри цилиндра летят невзаимодействующие электроны с зарядом $e$ массой $m$ и одинаковой скоростью $v,$ направленной вдоль оси цилиндра. В некоторый момент было включено магнитное поле $B$, направленное тоже вдоль оси цилиндра по всему его объему. Определить давление электронов на стенки цилиндра.
Только эта задача совсем не школьная, хотя является частью Вашей задачи. Для простоты, цилиндр можно заменить плоскостью, а поле направить перпендикулярно скорости и параллельно плоскости, тогда чуть по проще будет, но все равно, это скорее аспирантский уровень.

Давайте пока рассуждать качественно.
Пусть у нас есть равномерное распределение электронов по плотности и направлениям скоростей и нет никаких стенок. Тода включение однородного поля перпендикулярно скоростям никак не нарушает этой однородности. Электроны все разом изменяют направление скорости на один и тот же угол за один и тот же промежуток времени.
Далее, внесем плоскую границу. Пусть какие-то электроны падают на эту границу под углом $\alpha$, тогда они отразятся на угол $-\alpha$. Но ведь точно такое же их количество упало под углом $-\alpha$, а отразилось теперь под углом $\alpha$. То есть просто одинаковое число электронов обменялось скоростями.

Или даже еще проще. Считайте что плоскость мысленная. И электроны просто летают по окружностям. Тогда можно считать, что окружности просто зеркально отразились от поверхности не нарушив никакой изотропности.

Я пока не настаиваю. Просто мысли вслух. Хотя, что-то мне не нравится в этой "симметрии". Пока не пойму что. Ведь электроны дрейфуют вдоль стенки.

[amon]

А Вы над "моей" задачей подумайте. Я ее переформулирую для плоскости:
Над бесконечной плоскостью движутся невзаимодействующие электроны с одинаковой скоростью $v,$ направленной параллельно плоскости. В некоторый момент было включено магнитное поле, направленное параллельно плоскости и перпендикулярно скорости электронов. Найти давление на плоскость при установившемся движении электронов. Массы, заряды и величина поля даны. Электроны однородно распределены с заданной плотность.
Обращаю Ваше внимание, что в этой задаче если поле ноль, то и давление ноль, значит ответ должен зависеть от величины поля. Такой кусок выпал в решении mihiv и, видимо, Вашем. А велик он или мал - зависит от параметров задачи.

[fred1996]

Тем не менее давление не зависит от поля, хотя бы из соображений размерности.
Вместо поля мы можем воспользоваться радиусом кривизны.
Тогда давление может зависить только от концентрации, массы, скорости и радиуса.
Но единственное значение для давления дает комбинация $P=knmv^2/2$
То есть радиуса и нет. Кстати, если честно взять интегралы, то радиус после замены на безразмерную переменную уходит.
Это качественно тоже понятно. Частота столкновений обратно пропорциональна радиусу, но толщина электронного слоя, участвующего в столконвениях пропорциональна радиусу. Так что результат от радиуса не зависит.
Ну а при нулевом поле у нас неопределенность, связанная с параллельностью скорости, но бесконечной толщиной электронной прослойки, которая при небольшом шевелении может вся сталкиваться со стенкой.

Кстати, в той задаче, которую я предложил, есть "официальное решение", которое не совпадает с тем что предложил Mihiv, но тоже не зависит от поля.
$P=Cnmv^2$, где $C$ безразмерная константа. Некий ни от чего независящий определенный итеграл.
Действительно, непонятно куда в выражении для давления засовывать радиус орбит электронов.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1198315 писал(а):

Тем не менее давление не зависит от поля, хотя бы из соображений размерности.

А добавочное слагаемое, пропорциональное $\dfrac{H^2}{8\pi}$, из соображений размерности появиться не может?

[fred1996]

Вопрос ставился про давление электронов

[AnatolyBa]

Размерные соображения не запрещают зависимости от $f(\frac{R_{\text{larmor}}}{R})$

[fred1996]

Так, давайте отделим мух от котлет.
1. То есть давление самого магнитного поля мы не учитываем просто из постановки задачи.
2. Для плоской границы, предложенной Amon никакого $R$ нет
3. Вариант с цилиндром.
Предлагаю след. Рассуждения. Пусть есть достаточно большое пространство, где электроны крутятся из-за этого постоянного поля по окружностям одинаковых радиусов. Соответственно считаем их концентрацию постоянной и распределение скоростей по углам постоянным.
Теперь вырежем в этом пространстве воображаемый цилиндр. Так вот, пусть какие-то электроны проходят через поверхность нашего цилиндра под каким-то углом $\alpha$ внутрь цилиндра.
В то же самое время в том же самом месте из цилиндра будут вылетать электроны под тем же углом притом в том же количестве. То есть можно считать, что отраженные от стенок цилиндра электроны, это на самом деле прошедшие изнутри электроны и наоборот. То есть в реальности магнитное поле вообще не вносит
Никакой анизотропии ни в пространственном смысле, ни в смысле направлений. И на самом деле это касается поверхностей любого достаточно гладкого типа.

[fred1996]

AnatolyBa в сообщении #1198341 писал(а):

Размерные соображения не запрещают зависимости от $f(\frac{R_{\text{larmor}}}{R})$

И еще. Предположим что поле $B$ достаточно сильное.
То есть Ларморовский радиус существенно меньше радиуса цилиндра.
А давайте тогда возьмем не цилиндр, а Два сегмента кругов с разными радиусами и общей хордой и склеим. Если давление на стенки одного сегмента будет не такое, как на стенки другого, результирующая сила на цилиндр со стороны электронов будет ненулевой и получим крутой двигатель для межзвездных перемещений. :)

[mihiv]

В этой задаче, наверное, нет смысла рассматривать процесс включения магнитного поля, так как при этом из-за вихревого электрического поля меняются энергии электронов. То есть просто примем, что каким-то неведомым образом получена такая система электронов. Как уже указал fred1996 частота соударений электронов со стенкой пропорциональна магнитному полю, а участвовать в соударениях со стенкой могут лишь электроны из слоя толщиной равной удвоенному ларморовскому радиусу, т.е. толщина обратно пропорциональна $B$. Следовательно, давление не зависит от $B$. Если предположить, что оно равно давлению при нулевом поле, то и получим $p=\frac 12nmv^2$. Множитель 0.5 потому, что движение плоское и $\langle v^2_x\rangle =\frac {v^2}2$ .

С другой стороны при слабых полях, когда ларморовский радиус больше радиуса цилиндра и все электроны участвуют в соударениях, возможно, что движение электронов по дуге окружности вместо отрезка прямой как-то влияет на частоту соударений и правильнее некоторый множитель $C$ вместо $\frac 12$.

[amon]

mihiv в сообщении #1198390 писал(а):

Если предположить, что оно равно давлению при нулевом поле

Господа, попробуйте решить задачу с плоскостью. Там при нулевом поле ноль. Чувствую - узнаете нечто новое. Про то, что все происходит в пределах диаметра циклотронной орбиты - чистая правда, а больше он диаметра трубки или меньше - в условиях исходной задачи не сказано.

[amon]

mihiv в сообщении #1198390 писал(а):

частота соударений электронов со стенкой пропорциональна магнитному полю

А что, в случае с плоскостью (да и с цилиндром тоже, но хитрее) она будет для всех стучащих по плоскости электронов одинаковая? Дальше не буду подсказывать.