Уровень Ферми: как правильно определять?

[Phx]

Здравствуйте, я не понимаю, почему если в электронном спектре в металле есть щель, то уровень Ферми лежит между ними (на энергии, равной полусумме границ зоны валентной и зоны проводимости)? Погуглив, мне удалось только выяснить два определения уровня Ферми
1) Химический потенциал при нуле температур
2) Энергия, число заполнения электронов на которой равно $n=1/2$

Второе определение мне более понятно, оно не зависит от температуры вовсе. Но эквивалентны ли эти два определения? И как вообще определить число заполнения, если у нас есть щель? Я не понимаю тем самым, почему мы определяем химический потенциал полупроводника (недопированного) на половине энергии щели.

[Munin]

Phx в сообщении #1197823 писал(а):

Здравствуйте, я не понимаю, почему если в электронном спектре в металле есть щель, то уровень Ферми лежит между ними (на энергии, равной полусумме границ зоны валентной и зоны проводимости)?

Абсолютно нипочему. Потому что металлом такой кристалл быть не может, он называется полупроводником или диэлектриком.

Металлом по определению называется такой кристалл, в котором уровень Ферми лежит в валентной зоне, частично заполненной. (Некоторые варианты этого могут быть полуметаллами.)

Phx в сообщении #1197823 писал(а):

Погуглив, мне удалось только выяснить два определения уровня Ферми
1) Химический потенциал при нуле температур
2) Энергия, число заполнения электронов на которой равно $n=1/2$
Второе определение мне более понятно, оно не зависит от температуры вовсе. Но эквивалентны ли эти два определения?

Нет, не эквивалентны. Они эквивалентны при $T=0,$ и расходятся при $T>0,$ правда, достаточно медленно.

Тут есть две традиции.
Кондовые физики предпочитают определение 1.
Практики-электронщики плюют на нюансы, и используют определение 2.
Кондовые физики на них косо смотрят, и говорят, что "2" - это хим. потенциал.

В учебниках и статьях вы можете прочитать и то, и другое. И даже, ляпнув не то не в той компании, получить косые взгляды.

Phx в сообщении #1197823 писал(а):

И как вообще определить число заполнения, если у нас есть щель?

При конечной температуре - из концентрации носителей.

Phx в сообщении #1197823 писал(а):

Я не понимаю тем самым, почему мы определяем химический потенциал полупроводника (недопированного) на половине энергии щели.

Он туда стремится при $T\to 0.$

[Phx]

Спасибо за ответ. Все ясно теперь, в обзоре https://ufn.ru/ufn55/ufn55_12/Russian/r5512b.pdf (если вдруг кому-то будет тоже полезно) написано как считать химический потенциал в зависимости от температуры через условие электронейтральности полупроводника.

Выходит, только для нуля температур и для невзаимодействующих электронов в принципе справедливо определять уровень Ферми "школьным" способом через энергию последнего заселенного одночастичного состояния.

[Munin]

Ну, это много где написано, начиная с классики
Зи. Физика полупроводниковых приборов.

А что такое "последнее заселённое"? Заселённость - величина вероятностная, плавно меняющаяся от 0 до 1.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1197836 писал(а):

Phx в сообщении #1197823

писал(а):
Здравствуйте, я не понимаю, почему если в электронном спектре в металле есть щель, то уровень Ферми лежит между ними (на энергии, равной полусумме границ зоны валентной и зоны проводимости)?
Абсолютно нипочему. Потому что металлом такой кристалл быть не может, он называется полупроводником или диэлектриком.

Возможно, тут речь о переходе Мотта-Хабарда (возникновение щели за счет корреляции). Т.е. получится вроде как и металл, но в диэлектрическом состоянии. Металл с некой долей условности, конечно.

Впрочем, щель еще есть в "честном" металле, но в сверхпроводящем. Но там она может под действием электрического поля двигаться вмести с уровнем Ферми. Поэтому диэлектрика не получается.

[Phx]

Munin в сообщении #1197904 писал(а):

А что такое "последнее заселённое"? Заселённость - величина вероятностная, плавно меняющаяся от 0 до 1.

Я имею в виду вот что:
При нуле температур распределение свободных электронов по энергиям превращается в тета-функцию, то есть среднее число частиц на каждом уровне вплоть до $\mu(T=0)$ равно единице.
Последнее заселенное я имею в виду здесь буквально, такое $k_F$: что при $k>k_F, \langle n_k \rangle=0, k<k_F, \langle n_k \rangle=1$, ну при $k=k_F$ мы видим прямо из распределения Ферми-Дирака, что $\langle n_{k_F} \rangle=\frac{1}{2}$

Но это не так, конечно, когда основное состояние типа БКШ, тогда распределение электронов по импульсам при нуле температур выглядит по-другому, тогда нельзя говорить о том, что хим. потенциал при нуле температур определяет импульс, для импульсов выше которого соответствующее число заполнения равно нулю.

[Munin]

Phx в сообщении #1197933 писал(а):

При нуле температур распределение свободных электронов по энергиям превращается в тета-функцию

Есть "гамма-функция" и "бета-функция". А "тета-функции", вообще-то, нет, есть функция Хевисайда ("тета Хевисайда", если очень хочется). А то вдруг испуганный читатель начнёт искать по справочникам спецфункций...

Phx в сообщении #1197933 писал(а):

Я имею в виду вот что

Ну, при $T=0$ можно, но не делайте из этого привычку, потому что обычно $T>0.$