Распределение разности двух случайных величин

[Anton.V.Bogachev]

Всем привет!

Столкнулся с такой задачей. Есть две случайные величины: $\xi\sim \Gamma(\alpha, \gamma)$ и $\eta \sim Exp(\kappa) $. Надо найти распределение разности $\xi - \eta$.

Преобразовал я формулу свертки для суммы в формулу для разности:

$P(\xi - \eta \leq x) = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} f_{\xi}(u+t) f_{\eta} (t) dt du = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{({u+t})^{\alpha-1} \gamma^{\alpha} e^{(-u-t)\gamma}} { \Gamma(\alpha)} \kappa e^{-t \kappa} dt du$.

Но вот что дальше делать с этим монстром? Как его взять? Он вообще берется? Упростить?
Посоветуйте, пожалуйста.

UPD: величины независимы.

-- 06.03.2017, 05:44 --

Собственно, по самой задаче: этот интеграл можно взять? - как-то упростить? Или в принципе надо действовать по-другому, не в лоб, через свертку?.

[Someone]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1197486 писал(а):

$\ldots \exp^{-t \kappa} \ldots$.

Скорее всего, Вы разделяете ходячее заблуждение, что число $e$ обозначается $\exp$ и называется экспонентой. В то время как на самом деле "$\exp(x)$" — это альтернативное обозначение показательной функции $e^x$, удобное в тех случаях, когда вместо $x$ нужно подставить громоздкое выражение, а "экспонента" — альтернативное название той же показательной функции.

[Lia]

Часть сообщений преимущественно технического характера была удалена.

[GAA]

Я не проверял правильность выписанного интеграла. По мне или через свертку находить плотность, или вычислять вероятность тупо выписывая двойной интеграл и сводя его к повторному. Второй способ, для меня, проще в данном примере. (Но тут кому как.)

А вообще, в таких случаях очевидно интеграл нужно можно сводить к гамма-функции $\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}v^{\alpha-1}e^{-v}dv$.

-- Пн 06.03.2017 08:31:32 --

В каком-то объёме гамма-функция должна была быть. Если совсем не было, и плотность гамма-распределения была дана без каких-либо обоснований, то можно воспользоваться «нормировкой» плотности.

[GAA]

Напомню себе выражения для плотностей:

$f_{\xi}(u) = \begin {cases} \frac {\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}, & u \ge 0;\\ 0, & u < 0. \end {cases}$ $f_{\eta}(t) = \begin {cases} \kappa e^{-\kappa t}, & t \ge 0; \\ 0, & t < 0. \end {cases}$

Если $x < 0$, то функцию распределения в элементарных функциях найти просто

$$F_{\xi-\eta}(x) = \frac {\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}du \int_{u-x}^{+\infty} e^{-\kappa t} d \kappa t = \frac {\gamma ^{\alpha}} {(\gamma + \kappa)^{\alpha}} e^{\kappa x}.$$

Если $x \ge 0$, то легко получается свести к сумме выражений, содержащих неполную гамма-функцию.
(Это я быстро набрал. Мог и опечатки или ошибки допустить. Проверьте, если интересно.)

Upd $du$ пропустил. Добавил.

[GAA]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1197486 писал(а):

$P(\xi - \eta \leq x) = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} f_{\xi}(u+t) f_{\eta} (t) dt du = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{({u+t})^{\alpha-1} \gamma^{\alpha} e^{(-u-t)\gamma}} { \Gamma(\alpha)} \kappa e^{-t \kappa} dt du$.

Так записанный внутренний интеграл (по $t$) будет верен для положительных $u$. (Т.е. так мы найдем плотность разности, когда она будет положительной). Для вычисления функции распределения (или указанной в сообщении вероятности) нужно знание плотности и для отрицательных $u$.

[Anton.V.Bogachev]

GAA

Спасибо за помощь, теперь я менее неуверен в своих силах.))
У меня только маленький вопрос: почему в ответе в знаменателе $\frac{...}{(\gamma + k)^{\alpha}}$, а не $\frac{...}{(\gamma + k)^{\alpha - 1}}$? - ведь после замены будет: $\frac{\gamma^{\alpha} e^{kx}}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{z^{\alpha-1}}{(\gamma+k)^{\alpha-1}} e^{-z} dz$.
Или нет?

-- 07.03.2017, 05:09 --

GAA
Хотя нет, еще один, более элементарный, но непонятный мне вопрос.
Значение $x$ используется при задании пределов интегрирования. Я понимаю, как в данном случае получились такие пределы. Я не понимаю, каким образом использовалась отрицательность $x$. В смысле, ведь пределы не поменяются, если станет $x \geq 0$. Все так же будет $u - t \leq x$ и $t \geq u - x$?

[GAA]

Да. Все так же будет $u - t \le x$.
Для случая $x \le 0$ область интегрирования схематически показана на рис. (Жирная линия - это $t = u - x$, случай $x = -1$. Область лежит выше линии $t = u - x$. Upd и правее линии $u=0$, конечно. Дописал на всякий случай.).

Вложение:

D.PNG

-- Вт 07.03.2017 07:18:20 --

Anton.V.Bogachev в сообщении #1197738 писал(а):

...после замены будет: $\frac{\gamma^{\alpha} e^{kx}}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{z^{\alpha-1}}{(\gamma+k)^{\alpha-1}} e^{-z} dz$.

Дифференциал не забыли "пересчитать"?

[Anton.V.Bogachev]

GAA в сообщении #1197766 писал(а):

Дифференциал не забыли "пересчитать"?

Mea culpa.))) Слона-то я и не приметил.

А, вроде понял.
Правильно ли я разумею, что при $x \geq 0$ область интегрирования разобьется на 2 части и будет примерно так:

$\int\limits_{0}^{x} ... du\int\limits_{0}^{+\infty} ... dt + \int\limits_{x}^{+\infty} ... du\int\limits_{u-x}^{+\infty} ... dt $?

*подынтегральное выражение - то же самое.

[GAA]

Да, это первое, что пришло мне в голову.

-- Вт 07.03.2017 08:07:26 --

И больше я уже не раздумывал.

[Anton.V.Bogachev]

GAA

При $x \geq 0$ получилось так:

$\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} (\frac{1}{\gamma^{\alpha}} \int\limits_{0}^{\gamma x} z^{\alpha-1} e^{-z} dz + \frac{e^{kx}}{(\gamma + k)^{\alpha}} \int\limits_{x(\gamma+k)}^{\infty} z^{\alpha-1} e^{-z} dz)$.

Второй интеграл, если я правильно понимаю, является неполной гамма-функцией, примерно так:

$\int\limits_{x(\gamma+k)}^{\infty} z^{\alpha-1} e^{-z} dz = \Gamma(\alpha, x(\gamma + k))$

А что с первым? Так и оставить его в виде интеграла?

[Ms-dos4]

Anton.V.Bogachev
Представить как разность полной и неполной гамма-функции разбив на 2 интеграла

[Anton.V.Bogachev]

Ms-dos4

А, не подумал.)

Получается так:
$ \int\limits_{0}^{\gamma x} z^{\alpha-1} e^{-z} dz = ... = \Gamma(\alpha) - \Gamma(\alpha, \gamma x)$
?

Окончательно тогда для $x \geq 0$ выходит такое:

$F_{\xi - \eta} (x) = \frac{\Gamma(\alpha) - \Gamma(\alpha, \gamma x)}{\Gamma(\alpha)} + \frac{\gamma^{\alpha} e^{kx} \Gamma(\alpha, x(\gamma + k))}{\Gamma(\alpha) (\gamma + k)^{\alpha}}$

[Anton.V.Bogachev]

Всем привет!
Подскажите, пожалуйста, как решить такое уравнение:

$$\int\limits_{-\infty}^{0} f_1(x) dx = 1 - C$$

, если известно, что
$f_1(x)$ - функция плотности распределения, $C$ - некая константа.

Спасибо.

UPD: найти надо $f_1(x)$.

[Otta]

Странная задача. Определенный ответ можно дать только при $C>1$ и $C<0$.

Это все условие? Какова задача была в исходной формулировке?