Числа 1, 441 и им подобные (если есть)

[Ktina]

Известно ли вам, что общего у чисел 1 и 441?

1) Оба они - квадраты натуральных чисел.
2) Их суммы цифр - тоже.
3) А также произведения цифр.
4) Ну и наконец, количество делителей каждого из них - тоже квадрат натурального числа (у числа 1 один делитель, а у 441 ровно 9 делителей).

У меня такое ощущение, что её устроила цена что больше таких натуральных чисел нет.
А может, я ошибаюсь?
А вдруг их вообще бесконечно много?

[Aritaborian]

Во-первых, вы упустили число $100$ ;-)
Ну а далее, пока не пришёл уважаемый gris с изящными теоретическими построениями, попробуем тупо в лоб.

goodNumberQ[n_] := AllTrue[{n, Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[Range[10^6], goodNumberQ]

Среди первого миллиона таких чисел нашлось 55. Начинается последовательность так: $1, 100, 441, 2601, 9025, 10000, 14884, 40401, 40804, 41209...$
И по понятным причинам их бесконечно много.

[Aritaborian]

Ах ты ж. Я забыл мнение уважаемой Ktina на этот счёт.

-- 06.03.2017, 04:47 --

...Я не буду удалять тот ужас, что написал в посте post1197563.html#p1197563, пусть это служит мне напоминанием о безграничности моей глупости (и я сейчас вовсе не о причислении/непричислении нуля к натуральным числам)
Ну а исправленная последовательность, вот она:
$1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316...$. Среди первых десяти миллиардов натуральных чисел нужных нам нашлось сто семьдесят.

zeroFreeNumberQ[n_] := FreeQ[IntegerDigits[n], 0]
goodNumberQ[n_] :=  AllTrue[{Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[#^2 & /@ Range[10^5], goodNumberQ[#] && zeroFreeNumberQ[#] &]

[Dmitriy40]

Да, у меня получилось то же самое: $1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316, 2356225, 3767481, 6325225$ (до десяти миллионов).
До степеней 10: $1, 1, 2, 2, 4, 7, 13, 28, 66, 170, 432, 1116, 2904, 7959$ штук.

[Aritaborian]

Ktina, можете даже добавить в анкету пятый пункт задачу пятое условие: число должно быть палиндромом. Как минимум два таких нашлись, единица и $1234321$ ;-)

[Ktina]

Aether в сообщении #1197565 писал(а):

Вероятно подразумевается, что речь идет о N, к которому 0 не относится. 0 является элементом $N_0$.

Да.

-- 06.03.2017, 10:29 --

Aritaborian
Dmitriy40
Большое спасибо!
Вопрос о счётности множества таких чисел, как я понимаю, остаётся открытым...