Усиление одного известного неравенства

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, для которых $\prod\limits_{cyc}(2a^2+(b+c)^2)\neq0$. Докажите, что

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8$$

На USAMO 2003 (Problem 5) то же неравенство надо было доказать для неотрицательных переменных.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1197135 писал(а):

Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, для которых $\prod\limits_{cyc}(2a^2+(b+c)^2)\neq0$. Докажите, что

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8$$

На USAMO 2003 (Problem 5) то же неравенство надо было доказать для неотрицательных переменных.

1. $a+b+c =0 \rightarrow \ 1 <8$

2. если $a+b+c \ne 0$ , тогда положим $a+b+c=1$

$f(x)= \dfrac{(1+x)^2}{3x^2-2x+1} \le 3$

$$f(a)+f(b)+f(c) \le 8 \ , \ a+b+c=1$$

a. $ f(x) \le 1$ при $x \le 0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c) \le 7$ при $a \le 0$


b. $f(x)= \dfrac{(1+x)^2}{3x^2-2x+1} \le 4x+\dfrac{4}{3}$ при $x >0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c) \le 4(a+b+c )+4=8$ при $a,b,c \ge 0$

[sergei1961]

в самом начале получается 3х3=9 <8 - почему?

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1197164 писал(а):

в самом начале получается 3х3=9 <8 - почему?

В "самом начале" получается:

Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):

1. $a+b+c =0 \rightarrow \ 1 <8$

А в начале самого конца приведена оценка функции, которая используется в выводе. Или Вы о чём?

[arqady]

Sergic Primazon, отличное доказательтво!
В моём доказательстве я использовал uvw и оно гораздо тяжелее Вашего.

[sergei1961]

Если функция меньше 3, то почему три функции меньше 8, а не 9?

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1197272 писал(а):

Если функция меньше 3, то почему три функции меньше 8, а не 9?

Позвольте ещё раз уточнить, какой именно пункт Вам непонятен: 1, 2а или 2б. Или Вам неясно, как сумма этих пунктов даёт решение?

[sergei1961]

Непонятно: пункт 2 до а. Функция меньше 3. Почему сумма трёх значений этой функции меньше 8, а не 9.

[grizzly]

В пункте 2а рассматривается случай, когда хотя бы одно из чисел отрицательно. Скажем, $a$. Тогда указанная функция в т. $a$ принимает значение не большее чем 1. Затем суммируем $1+3+3 =7$.

Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):

$ f(x) \le 1$ при $x \le 0 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c) \le 7$ при $a \le 0$

-- 05.03.2017, 12:28 --

Ага, я кажется понял. Вы об этом?

Sergic Primazon в сообщении #1197146 писал(а):

$$f(a)+f(b)+f(c) \le 8 \ , \ a+b+c=1$$

Это просто переформулировка условия в новых терминах.