2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 функциональный ряд, неравном. сходимость
Сообщение13.05.2008, 14:29 
Аватара пользователя
помогите пожалуйста, как доказать что ряд сходится неравномерно на интервале:

\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin nx}}
{{e^{n^2 x} }}} ,     E = \left( {0; + \infty } \right)
\]

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 14:54 
Аватара пользователя
Проверяйте отрицание критерия Коши равномерной сходимости.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 15:30 
Аватара пользователя
не удается придумать последовательность

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 15:30 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
не удается придумать последовательность
В критерии Коши речь идет о конечных суммах членов ряда, а не о последовательностях...

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 15:46 
Аватара пользователя
отрицание условия:

\[
\exists \varepsilon _0  \geqslant 0{\text{ }}\exists n_0  \in N{\text{ }}\forall n \geqslant n_0 {\text{ }}\exists x_n  \in E:{\text{ }}\left| {u_n (x_n )} \right| \geqslant \varepsilon _0 
\] для ряда \[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {u_n (x)} 
\]

Добавлено спустя 11 минут 8 секунд:

а, все решилось. последовательность подобрал, спасибо за наводку

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 06:16 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
отрицание условия:

Странное отрицание однако. И что, в самом деле получилось?
Из этого более чем странного отрицания? :roll:

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 08:57 
Аватара пользователя
Ну, на самом деле оно не странное, а следует как частный случай из другого, более общего. Источник: сборник задач Кудрявцева.

\[
\exists \varepsilon _0  > 0{\text{ }}\forall m \in N{\text{ }}\exists n \geqslant m{\text{ }}\exists p \in N{\text{ }}\exists x_n  \in E:{\text{ }}\left| {\sum\limits_{k = n + 1}^{n + p} {u_k \left( {x_n } \right)} } \right| \geqslant \varepsilon _0 
\]

Я взял \[
x_n  = \frac{1}
{{n^2 }},p = n = m,\varepsilon _0  = \frac{1}
{{e^4 }}
\]

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 09:07 
Аватара пользователя
Что-то странное Вы пишете. Так, как предлагаете Вы, получить отрицание критерия Коши в этой задаче не получится :(

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 10:45 
Аватара пользователя
\[
\left| {\frac{{\sin \frac{{n + 1}}
{{n^2 }}}}
{{e^{\frac{{\left( {n + 1} \right)^2 }}
{{n^2 }}} }} + ... + \frac{{\sin \frac{{2n}}
{{n^2 }}}}
{{e^{\frac{{4n^2 }}
{{n^2 }}} }}} \right| \geqslant \frac{{n \cdot \sin \frac{{n + 1}}
{{n^2 }}}}
{{e^4 }} \to \frac{1}
{{e^4 }} = \varepsilon _0 ,n \to \infty 
\]


может быть я что-то и путаю

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 12:50 
Аватара пользователя
Нет, теперь - все хорошо! :D Я писал свой комментарий вот к этому вашему тексту:
ShMaxG писал(а):
отрицание условия:

\[ \exists \varepsilon _0 \geqslant 0{\text{ }}\exists n_0 \in N{\text{ }}\forall n \geqslant n_0 {\text{ }}\exists x_n \in E:{\text{ }}\left| {u_n (x_n )} \right| \geqslant \varepsilon _0 \] для ряда\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {u_n (x)} \]
Здесь все было не так хорошо :(

 
 
 
 
Сообщение16.05.2008, 14:34 
А ряд $\sum \frac {1}{exp (n^2 x)}$ не является ли мажорантой?

 
 
 
 
Сообщение16.05.2008, 14:38 
Аватара пользователя
antbez писал(а):
А ряд $\sum \frac {1}{exp (n^2 x)}$ не является ли мажорантой?

А он что, равномерно сходится на $(0,+\infty)$? :lol:

 
 
 
 
Сообщение16.05.2008, 15:28 
Он просто сходится там- этого недостаточно для признака Вейерштрасса?

 
 
 
 
Сообщение16.05.2008, 16:13 
Аватара пользователя
antbez писал(а):
Он просто сходится там- этого недостаточно для признака Вейерштрасса?
Приведите формулировку признака Вейерштрасса.

 
 
 
 
Сообщение16.05.2008, 16:20 
Да! Забыл, что мажоранта- числовый ряд!

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group