задачки на случайные величины

[Henrylee]

ewert писал(а):

У него получилась $\sigma$-алгебра не в $\mathbb R$, а в множестве, состоящем только из двух элементов.

Да, сразу заметил и исправил.

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

ewert писал(а):

Ну а $\Omega$ можно брать какую угодно (ладно, почти).

Ну пррирода $\Omega$ нас не волнует, а минимальная $\sigma$-алгебра в $\Omega$ (в данном случае) вполне конкретна.

[GAA]

Михаиль писал(а):

Высчитав интеграл от 0 до q получим площадь фигуры, которая нас НЕ устраивает.Разве не так?

Не так.

[ewert]

Михаиль писал(а):

Потому что первое ограничение действует как парабола, ветви которой устремленны вверх, а вершина находится в точке (0,0). все что внутри параболы нас не устраивает. Высчитав интеграл от 0 до q получим площадь фигуры, которая нас НЕ устраивает. Весь остальной квадрат нас устраивает.
Разве не так?

Нет, конечно. Во-первых, тогда и делить надо только на правую половину квадрата. Во-вторых, при этом игнорируется нижняя половина квадрата, а она нас вполне устраивает.

Вы, как мне кажется, делаете очень типичную ошибку (точнее, неорганизованность, но в Вашем случае она переходит в ошибку). Площадь определяется как интеграл от разности верхней и нижней границ (в общем случае -- от модуля разности). У нас верхняя граница -- парабола, а нижняя -- горизонтальная прямая $y=-q$. Довольно многие энтузиасты в подобных случаях зачем-то пытаются чего-то изобретать и разбивают область на части, хотя надо просто тупо следовать формальному правилу.

[Михаиль]

а что у нас под знаком интеграла тогда?
я запутался.

[ewert]

Михаиль писал(а):

а что у нас под знаком интеграла тогда?
я запутался.

Разность между игреками, определяющими параболу и нижнюю границу квадрата
(извините, выписывать окончательную формулу как-то совсем неспортивно).

P.S. извините, я невнимательно вчитался в Ваше решение. Оказывается, нижнюю часть Вы учитываете. Однако: для подсчёта площади выше параболы всё равно надо вычитать, только теперь уже -- из верхней границы параболу.

[Михаиль]

а а интегральная границе [-q;q].
То я понял про верхнюю и нижнюю границу как границы области по которой нужно интегрировать..
Получилось ${\frac {q^3}{6}}-q^2$

Остался лишь один вопрос как из моего множества сделать
минимальная $\sigma$-алгебра в $\Omega$. Добавить F?

[ewert]

Михаиль писал(а):

а а интегральная границе [-q;q].
То я понял про верхнюю и нижнюю границу как границы области по которой нужно интегрировать..
Получилось ${\frac {q^3}{6}}-q^2$

Да, только не перепутайте знаки и не забудьте, что все Ваши замечательные вычисления относятся лишь к правой половине квадрата.
----------------------------------
Упс, пардон, нет! опять путаница: ${\frac {q^3}{6}}$ относится к интегралу по всей верхней половинке квадрата, а $q^2$ -- только к четвертинке. Сосредоточьтесь же.

Цитата:

Остался лишь один вопрос как из моего множества сделать
минимальная $\sigma$-алгебра в $\Omega$. Добавить F?

А тут я не знаю. Я вообще не понимаю, в чём глубокий философский смысл этой задачи. Если предполагается возня с $\Omega$, то надо заменить числа 1 и 5 на абстрактные элементарные исходы $\{\omega_1,\omega_5\}$ и проделать с ними Ваши манипуляции. Но всё это довольно нелепо. Скорее всего, имелось всё же в виду, что пространство событий -- это пространство чисел. Тогда нужен, скорее всего, Ваш вариант.

Henrylee писал(а):

Ну пррирода $\Omega$ нас не волнует,

Зверрски сказано!

[Михаиль]

а левая сторона квадрата тогда как?
правую я интегрировал как${\frac {x^2}{4}}-x$ c верхней границы q и нижней -q. но слева то то же самое...

[ewert]

Михаиль писал(а):

а левая сторона квадрата тогда как?
правую я интегрировал как${\frac {x^2}{4}}-x$ c верхней границы q и нижней -q. но слева то то же самое...

Я и говорю -- сосредоточьтесь. Или "только правую", или "интегрировал как c верхней границы q и нижней -q". Кроме того, зачем икс-то вычитать? граница-то задаётся константой.

[Henrylee]

Михаиль писал(а):

Остался лишь один вопрос как из моего множества сделать
минимальная $\sigma$-алгебра в $\Omega$. Добавить F?

Ну ладно, так и быть. Ваша минимальная $\sigma$-алгебра будет состоять из следующих множеств:
$\{a=1\},\{a\in\{1,5\}\},...$ продолжите сами. То же самое подробнее
$\{\omega\in\Omega:a(\omega)=1\}$ итд

[Михаиль]

Да, у меня квадрат.
В квадрате верхняя граница задается при помощи параболы$y={\frac {x^2}{4}}$ и уравнения $y=q$,
нижняя граница $y=-q$. Слева граница квадрата задана $x=-q$ справа $x=q$.
Одну часть (центральную) я высчитал, остались отрезки по бокам площади которых равны $S={2 q }*{q-2 \sqrt{(q)}}$.

${\frac {q^3}{6}}+2*q^2$+2S
что и будет ответом. Так?

[ewert]

Михаиль писал(а):

Да, у меня квадрат.
В квадрате верхняя граница задается при помощи параболы$y={\frac {x^2}{4}}$ и уравнения $y=q$,
нижняя граница $y=-q$. Слева граница квадрата задана $x=-q$ справа $x=q$.
Одну часть (центральную) я высчитал, остались отрезки по бокам площади которых равны $S={2 q }*{q-2sqrt(q)}$.

${\frac {q^3}{6}}+2*q^2$+2S
что и будет ответом. Так?

Честно говоря, лень вникать -- уж как-то опять всё безалаберно. Просто проинтегрируйте по рабоче-крестьянски $y={\frac {x^2}{4}}-(-q)$ по всему квадрату, т.е. по промежутку $[-q;q]$, и выйдет полное счастье.

[Henrylee]

ewert писал(а):

Я вообще не понимаю, в чём глубокий философский смысл этой задачи.

Философский смысле этой задачи в правильном понимании случайной величины как измеримого отображения.

[Михаиль]

парабола ограничивает верхнюю границу лишь в интервале [$-2 \sqrt {q}$, $2 \sqrt {q}$]. А в интервалах
[-q $-2 \sqrt {q}$] [$2 \sqrt {q}$, q] прямая y=q

Добавлено спустя 5 минут 58 секунд:

Henrylee писал(а):

Ну ладно, так и быть. Ваша минимальная $\sigma$-алгебра будет состоять из следующих множеств:
$\{a=1\},\{a\in\{1,5\}\},...$ продолжите сами. То же самое подробнее
$\{\omega\in\Omega:a(\omega)=1\}$ итд

$\{\{\omega\in\Omega:a(\omega)=1\},\{\omega\in\Omega:a(\omega)=5\},$\Omega$\ и пустое множество$\}$. Надеюсь правильно понял.

[ewert]

Михаиль писал(а):

парабола ограничивает верхнюю границу лишь в интервале [$-2 \sqrt {q}$, $2 \sqrt {q}$]. А в интервалах
[-q $-2 \sqrt {q}$] [$2 \sqrt {q}$, q] прямая y=q

Да, это действительно ньюанец. Решение действительно зависит от $q$. При маленьких $q$ грамотные люди используют тот вариант, что в моём предыдущем посте (т.к. парабола пересекает вертикальные стороны квадрата), а при больших -- пересекает горизонтальную, и разумнее вычитать (как Вы и пытались) из всего квадрата область над параболой. Только это всё же надо считать правильно.