задачки на случайные величины

[Brukvalub]

Михаиль писал(а):

на других участках она равна 0

А меня Я.Г. Синай учил, что ф.р. монотонно неубывает от 0 к 1 ?

[Михаиль]

функция распределения будет:
если а или b меньше чем -q то 0
если а или b в интервале [-q;q] то (x+q)/2q
если а или b больше чем q то 1


Нам надо найти вероятности

\[ P\left\{ {a^2 \ge 4b} \right\} \]

теперь через функцию распределения, да?

[GAA]

Как правило, упражнение 2 дают после темы «геометрическая вероятность». Вероятность $a^2 \ge 4b$ есть отношение площади части квадрата удовлетворяющей соотношению $a^2 \ge 4b$, ко всей площади квадрата.
Добавлено
Упражнение 2 очень похоже на «Задачу о встрече». Я бы внимательно почитал решение этой задачи в конспекте Н.И. Черновой.

[Михаиль]

cпасибо.
Читаю.

[Михаиль]

Про вторую задачу.
Как я понял - представим ось координат, в которой ось х отвечает за случайную величину а и ось у отвечает за случайную величину b. Тогда у нас получается квадрат со стороной 2q.
Площадь такого квадрата равна $4 q^2$.
Теперь смотрим на наше ограничение, которое говорит, что случайная величина не должна попасть в интервал ограничееный уравнением $a^2 \ge 4b$. Тогда надо найти площадь ограничения, которая равна интеграл в границах от 0 до q от функции $\frac {b^2}4$ . Интегрируя получаем $\frac {b^3}{12}$ =$\frac {q^3}{12}$. И тогда получаем, что вероятность того, что детерминант будет больше или равен нулю
$= {4 q^2}$ $-\frac {q^3}{12}$ деленное на$ {4 q^2}$

А вот с первой задачей как правильно обосновать, что случайная величина с и а зависимы не получиется

[ewert]

Михаиль писал(а):

А вот с первой задачей как правильно обосновать, что случайная величина с и а зависимы не получиется

А они и независимы. Ибо достоверное событие независимо с любым.

[Henrylee]

Михаиль писал(а):

А вот с первой задачей как правильно обосновать, что случайная величина с и а зависимы не получиется

Если коротко, то как сказал ewert, еще можно сказать, что константа порождает тривиальную $\sigma$-алгебру, которая независима от любой другой. Ну а если подробнее, то
выбираем произвольные измеримые (борелевские) множества $A$ и $B$ и рассматриваем события $\{a\in A\}$ и $\{c\in B\}$. Если $2\notin B$, то второе событие пусто, его вероятность ноль, его пересеченияс первым событием тоже пусто, вероятность опять ноль. Равенство выполняется. Теперь если $2\in B$, то

$$ \{c\in B\}=\Omega $$

$$ P\{a\in A\}P\{c\in B\}=P\{a\in A\}\cdot 1=P\{a\in A\}=P\left(\{a\in A\}\cap\Omega\right)=P\left(\{a\in A\}\cap\{c\in B\}\right) $$

[Михаиль]

Спасибо!
Про сигма алгебру тогда задам вопрос -
Задание: Конструировать минимальную сигма-алгебру, по отношении к которой, измеримая случайная величина а принимает лишь два значения $\{ 1, 5\}$. Я по определению сигма алгебры строю
1) все множество т.е. $\{ 1, 5\}$
2) дополнение к нему - пустое множество
3) отдельный элемент $\{ 1 \}$
4) дополнение к этому элементу $\{ 5 \}$

Получаю алгебру, которая будет минимальная.
1) А как может выглядить тогда не мнимальная сигма-алгебра?
2)Надо что то еще тут упомянуть (например, про случайную величину или вероятностное пространство)?

И второе задания я правильно решил?

[GAA]

Михаиль, я думаю по-другому. В задаче нужно найти вероятность события $b \le a^2/4, -q\le a\le q, -q\le b\le q$.

[Михаиль]

так значит надо найти еще вероятности оставшихся 2-ух случаев. Но это из определения, что случайные величины распределены равномерно в интервале [-q;q] то с вероятностью 1 случайная величина примит значени их этого интервала. Или я не правильно понял?

[GAA]

Нарисовав область $b \le a^2/4, -q\le a\le q, -q\le b\le q$ на бумаге, её площадь легко выразить через интеграл либо сумму интеграла и площади прямоугольника.

[ewert]

Михаиль писал(а):

Про вторую задачу.
Как я понял - представим ось координат, в которой ось х отвечает за случайную величину а и ось у отвечает за случайную величину b. Тогда у нас получается квадрат со стороной 2q.
Площадь такого квадрата равна $4 q^2$.
Теперь смотрим на наше ограничение, которое говорит, что случайная величина не должна попасть в интервал ограничееный уравнением $a^2 \ge 4b$. Тогда надо найти площадь ограничения, которая равна интеграл в границах от 0 до q от функции $\frac {b^2}4$ . Интегрируя получаем $\frac {b^3}{12}$ =$\frac {q^3}{12}$. И тогда получаем, что вероятность того, что детерминант будет больше или равен нулю
$= {4 q^2}$ $-\frac {q^3}{12}$ деленное на$ {4 q^2}$

Всё, в принципе, верно. Правда, $a$ и $b$ перепутаны, но это не важно. А вот что существенно: почему интеграл-то от 0 до $q$, а не по всему квадрату? И, во-вторых, перед интегрированием надо бы вычесть нижнюю границу квадрата. Ну соотв. и ответ будет немножко другой.

[Henrylee]

Давайте мысли в порядок приводить.

Михаиль писал(а):

Задание: Конструировать минимальную сигма-алгебру, по отношении к которой, измеримая случайная величина а принимает лишь два значения $\{ 1, 5\}$.

Предполагаю, что задание звучит так "Конструировать минимальную сигма-алгебру, относительно которой, измерима случайная величина а, принимающая лишь два значения $\{ 1, 5\}$"

Михаиль писал(а):

Я по определению сигма алгебры строю
1) все множество т.е. $\{ 1, 5\}$
2) дополнение к нему - пустое множество
3) отдельный элемент $\{ 1 \}$
4) дополнение к этому элементу $\{ 5 \}$

У Вас получилась $\sigma$-алгебра во множесьтве значений $\{1,5\}$, а должна быть в $\Omega$. Подправьте.

Михаиль писал(а):

Получаю алгебру, которая будет минимальная.
1) А как может выглядить тогда не мнимальная сигма-алгебра?

А добавите в нее еще подмножеств, склько хотите (но так, чтобы она осталась $\sigma$-алгеброй), получится не минимальная.

Михаиль писал(а):

2)Надо что то еще тут упомянуть (например, про случайную величину или вероятностное пространство)?

Вопрос отпадет, когда исправите (см. выше).

[Михаиль]

Потому, что первое ограничение действует как парабола, ветви которой устремленны вверх, а вершина находится в точке (0,0). все что внутри параболы нас не устраивает. Высчитав интеграл от 0 до q получим площадь фигуры, которая нас НЕ устраивает. Весь остальной квадрат нас устраивает.
Разве не так?

Насчет как перейти в $\Omega$. Разве$\Omega$ не состоит из 2 точек т.е.$\Omega=\{ 1, 5\}$

[ewert]

Henrylee писал(а):

Михаиль писал(а):

Я по определению сигма алгебры строю
1) все множество т.е. $\{ 1, 5\}$
2) дополнение к нему - пустое множество
3) отдельный элемент $\{ 1 \}$
4) дополнение к этому элементу $\{ 5 \}$

У Вас получилась $\sigma$-алгебра в $\mathbb R$, а должна быть в $\Omega$. Подправьте.

У него получилась $\sigma$-алгебра не в $\mathbb R$, а в множестве, состоящем только из двух элементов. Чтобы в $\mathbb R$, надо добавить дополнение до этих двух точек, его объединения с каждой из точек и само $\mathbb R$. Ну а $\Omega$ можно брать какую угодно (ладно, почти).