Использование o малое в пределах

[MestnyBomzh]

Добрый день. Возникло пару вопросов про то, как обращаться с о малым:
1)
$\lim \limits _{x \to 0} (\cos \sqrt x)^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}}$ Далее можно ли опустить о малое, дабы перейти ко второму замечательному пределу? Вернее я уже проверил в вольфраме, что можно, вопрос почему так можно?
2)
$\lim \limits _{x \to \infty} (\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x})^x = \lim \limits _{y \to 0} (\sin y - \cos y)^{\frac{1}{y}} = \lim \limits _{y \to 0} (y+o(y)-1+\frac{y^2}{2}+o(y^2))^{\frac{1}{y}} = \lim \limits _{y \to 0} (y-1+o(y))^{\frac{1}{y}}$
Тут следует аналогичный вопрос про о малое, что и в предыдущем пункте

[Otta]

О малое опускать нельзя никогда, вообще говоря. Можно жить с о малым, оно не мешает.
Ну или переходите к экспоненциальному виду, в первом случае замечательно работают эквивалентности.

А второй вообще безобразный. Там же функция не определена в окрестности нуля. Откуда Вы его достали?

[MestnyBomzh]

Ну да, я понимаю что опускать нельзя. тогда как грамотно записать переход в первом, вот так:
$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{y \to \infty} (1-\frac{1}{2y}+o(\frac{1}{y}))^y = e^{\frac{-1}{2}} $?

Второй взял из демо варианта олимпиады ВШЭ. Судя по графику функция действительно плохо себя ведет в окрестности нуля, но предел то проглядывается, да и считается он аналитически

[SomePupil]

Надо экспонентить логарифм:

$$(\cos{\sqrt x})^{\frac 1x} = e^{\frac 1x\ln{\cos{\sqrt x}}}.$$

Дальше решает непрерывность.
А вот со вторым пределом что-то наоборот.

P. S. Пара замечательных пределов, Тейлор, о-малые, и Вы практически Боженька.

[MestnyBomzh]

Так я и расписывал через о малое, Тейлора, второй замечательный предел обе задачки. Просто хотел прояснить методы работы с этим о малым

[SomePupil]

MestnyBomzh в сообщении #1195526 писал(а):

Просто хотел прояснить методы работы с этим о малым

Под логарифмом о-малое ведет себя законопослушно.

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #1195523 писал(а):

но предел то проглядывается, да и считается он аналитически

Нет. Или Вы в ТФКП уже полезли? Все равно нет.

MestnyBomzh в сообщении #1195523 писал(а):

$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}} = \lim \limits _{y \to \infty} (1-\frac{1}{2y}+o(\frac{1}{y}))^y = e^{\frac{-1}{2}} $?

Так и пишете:

$$\lim \limits _{x \to 0} (1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}}=\lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{\frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x}}$$

[SomePupil]

$$e^{\frac 1x\ln{\cos{\sqrt x}}} = e^{\frac 1x\ln{(1-\frac{x}2 + o(x)})}.$$

[Otta]

SomePupil
Ну это само собой, и это уже предлагалось (не к тому, что я претендую ))
Просто что спрошено - то и отвечаю. Вот хочет ТС знать, как так делать. Я его понимаю. Это не слишком полезно здесь, но полезно вообще.

[MestnyBomzh]

Да, тут правда проще через логарифм, тогда будет так:

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln (1-\frac{x}{2}+o(x))}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x} = -\frac{1}{2}$$

Итого, с учетом экспоненты, $e^{-\frac{1}{2}}$

Если же идти через о малое, то так:

$$\lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{\frac{-\frac{x}{2}+o(x)}{x}} = \lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{}^{-\frac{1}{2}+o(1)} $$

$$= ( \lim \limits _{x \to 0}\left[ (1-\frac{x}{2}+o(x))^\frac{1}{-\frac{x}{2}+o(x)}\right]{})^{-\frac{1}{2}}$$

И дальше уже можно писать $e^{-\frac{1}{2}}$?

[Otta]

Вообще вот так вот фрагментарно к пределу не переходят. К пределу если переходят - то во всех множителях, или во всех слагаемых или... но не так, что отхватил какой попало кусок и давай переходить. Так можно крупно накосячить.

Поэтому если уж делать так - то смотреть отдельно, куда стремится выражение в квадратных скобках (очевидно, куда, мы его нарочно так стряпали) и отдельно - куда внешний показатель. А уже потом писать ответ. Въедливый препод, в этом месте, правда, может дободаться, на основании какой-такой теоремы Вы все это делаете. Это не предел суммы, не предел произведения... что это? Отсюда и совет: степенно-показательные бяки лучче логарифмировать. Там уже и о малые не нужны, просто эквивалентности.

[MestnyBomzh]

Да, Вы правы. Даже на этом примере наглядно увидел, что логарифмы намного больше помогают. Учту это

А по поводу второй задачи авторы предлагают следующее решение:

[Otta]

Ну, это все очевидные вещи, зачем их сюда тащить. Вы бы лучше задание набирали аккуратнее ))

[MestnyBomzh]

ой, я минус поставил

-- 26.02.2017, 15:31 --

Хотя от этого разве что-то сильно поменяется?

[SomePupil]

MestnyBomzh в сообщении #1195549 писал(а):

Хотя от этого разве что-то сильно поменяется?

Поменяется. Отрицательные числа надо будет возводить в произвольную степень. Что бессмысленно.