Решение уравнения в целых числах

[Rusit8800]

Доказать, что следующее уравнение не имеет решений в целых числах

$$\[{x^3} + {y^3} = 4({x^2}y + x{y^2} + 1)\]$$

Я решил привести уравнение в таком виде:

$$\[{(x + y)^3} = 7({x^2}y + x{y^2}) + 4\]$$

и сделать замену $\[t = {x^2}y + x{y^2}\]$ и $\[n = x + y\]$, тогда,так как $\[n,t \in {\rm Z}\]$,задачу можно будет свести к доказательству следующего утверждения:

$$\[{n^3}\not \equiv 4{\text{ }}(\bmod {\text{ }}7)\]$$

Пользуясь калькулятором, можно заметить, что куб при делении на $7$ дает остатки $\[0, \pm 6, \pm 1\]$, но у меня возникли затруднения, как доказать, что других остатков нет.

-- 24.02.2017, 19:34 --

Да и вообще, известно ли решение уравнения

$$\[{a^b} \equiv x{\text{ }}(\bmod {\text{ }}c)\]$$

относительно $x$, где $\[a,b,c \in {\rm Z}\]$?

-- 24.02.2017, 19:38 --

gris в сообщении #1195115 писал(а):

Перебором. Возвести в куб числа от $0$ до $6$ и посмотреть на остатки.

Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):

$\[0, \pm 6, \pm 1\]$

И почему только до $6$?

[Lia]

А какие остатки от деления на семь, интересно?

gris, я все вижу, не сумлевайтесь.

[ИСН]

Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):

И почему только до $6$?

Потому что больше чисел нет.

[Rusit8800]

ИСН в сообщении #1195150 писал(а):

Потому что больше чисел нет.

Ну, например, все остальные целые числа.

[Otta]

Вы же с остатками работаете, действительно, раз берете по модулю 7. Сравнения ведь знаете?
Если есть какое-то $k$, то по модулю 7 оно сравнимо либо с нулем, либо с единицей, либо....итд.
Тогда $k^3 \equiv 0 \pmod 7$, либо $k^3\equiv 1\pmod 7$, либо ... продолжите сами.

Когда-то, когда я не знала, что это за зверь такой полезный, сравнения, я делала так, например:
если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$ по очевидным причинам имеет остаток 1 при делении на 7. Это то же самое. Просто инструмент сравнений позволяет сделать это более наглядно:
$k\equiv 2\pmod 7 \Rightarrow k^3 \equiv 8\equiv 1\pmod 7$.

Все целые числа при этом уже мало нужны. Прямо так скажем, вовсе не нужны.

[bot]

Rusit8800 в сообщении #1195233 писал(а):

Ну, например, все остальные целые числа.

Какие ещё остальные - откуда им взяться?

[SomePupil]

Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):

дает остатки $\[0, \pm 6, \pm 1\]$

$$+6 \equiv -1, -6 \equiv +1.$$

[Sinoid]

SomePupil в сообщении #1195239 писал(а):

$$+6 \equiv -1, -6 \equiv +1.$$

Еще бы модуль указать.

Rusit8800 в сообщении #1195113 писал(а):

И почему только до $6$?

Потому что модуль 7. Вообще, в данном случае множество всех целых чисел разбивается на 7 непересекающихся классов. И числа 0,1,...,6 - простейшие представители каждого из этих чисел. Разумеется, никто не запрещает брать в качестве представителей этих классов другие целые числа, просто, как правило, это усложняет расчеты.

[Rusit8800]

Sinoid в сообщении #1195320 писал(а):

Потому что модуль 7. Вообще, в данном случае множество всех целых чисел разбивается на 7 непересекающихся классов. И числа 0,1,...,6 - простейшие представители каждого из этих чисел. Разумеется, никто не запрещает брать в качестве представителей этих классов другие целые числа, просто, как правило, это усложняет расчеты.

Мне это не очевидно. Может есть такая теорема в теории чисел?

[Otta]

Rusit8800
Я там выше писала так подробно, что уже и вроде дальше некуда. Таки знаете Вы сравнения или нет? Можно и без них (как без них, тоже написала), но с ними нагляднее. Вот Вам и все, что требуется тут от теории чисел.

[Rusit8800]

Otta в сообщении #1195236 писал(а):

$k\equiv 2\pmod 7 \Rightarrow k^3 \equiv 8\equiv 1\pmod 7$

Видимо, так как я не знаком со сравнениями, то такой переход мне не очень понятен.

[Otta]

Не знакомы - ознакомьтесь. Вы же спрашивали, с чем ознакомиться. Это полезные сведения.

Но, однако, я писала и абсолютно то же без сравнений. Там что, тоже непонятно?

Otta в сообщении #1195236 писал(а):

если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

... так вот что там с его остатком? И всего сколько таких видов чисел придется смотреть? Посмотрите. Это не долго.

[Rusit8800]

Otta в сообщении #1195475 писал(а):

если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

Это понял, все числа с $m$ делятся на $7$, а остаток всюду один и тот же. Видимо, нужно рассматривать числа от $0$ до $6$,потому что$m \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$

-- 26.02.2017, 13:42 --

Otta в сообщении #1195475 писал(а):

Не знакомы - ознакомьтесь. Вы же спрашивали, с чем ознакомиться. Это полезные сведения.

Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс. Предлагали книгу Бардушкина, но мне показалось, что там маловато теории и задачи, данные для упражнения, достаточно просты, а сложных задач весьма мало.

[Otta]

Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):

Otta в сообщении #1195475 писал(а):

если число, к примеру, вида $7m+2$, то $(7m+2)^3$

Это понял, все числа с $m$ делятся на $7$, а остаток всюду один и тот же. Видимо, нужно рассматривать числа от $0$ до $6$,потому что$m \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$

Значит, не поняли. :(

Произвольное целое число $N$ делим на 7. Получаем какой-то остаток. Обычно остатки записывают в диапазоне от 0 до 6.
Как это будет выглядеть в формальной записи? $N=7m+q$, где $q=0,\ldots 6$.

Я (только чтобы не решать все за Вас) привела пример с остатком 2.
Вот берите этот список с 7-ю разными остатками и возводите в куб. И смотрите, что получится опять же в остатке от деления на 7 куба.

-- 26.02.2017, 15:10 --

Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):

Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс.

Вам пока всю теорию чисел не надо. Начните с малого. Например: http://kvant.mccme.ru/1970/05/sravneniy ... arifme.htm
Задач там, кстати, предостаточно, несмотря на малый формат.

Более продвинутые результаты есть здесь. Тоже "малый формат".

А так в сети много чего можно нарыть еще, на любой вкус. Ну может, кто-то еще что-нибудь посоветует. Но эта тема - небольшая, ее только надо "нарешать".

[SomePupil]

Rusit8800 в сообщении #1195511 писал(а):

Кстати, насчет этого, хотел найти книгу по основам теории чисел на продвинутом школьном уровне, при этом, чтобы она не покрывала университетский курс. Предлагали книгу Бардушкина, но мне показалось, что там маловато теории и задачи, данные для упражнения, достаточно просты, а сложных задач весьма мало.

В "Курсе Алгебры" Винберга буквально на первых страницах есть материал по вычетам.