2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение25.02.2017, 16:57 


25/02/17
3
Известное решение проблемы, изложенной в заголовке, для n=5 гласит, что при добавлении 5 сферы к 4, делящим пространство на 16 частей ( что достаточно очевидно) появится 14 новых частей пространства, так как имеющиеся 4 сферы пересекут поверхность пятой, поделив ее на 14 частей, что в сумме с 16 имеющимися частями пространства даст 30. Однако у меня не получается такое положение представить на чертеже, максимум получается 28. Решение, изложенное выше, является скорее оценкой сверху. Помогите доказать существование разбиения 5 сферами именно на 30 частей. Как именно должны быть расположены сферы, и возможно ли такое разбиение, если сферы одинакового радиуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 00:55 
Заслуженный участник


10/01/16
1860
Pentagon
Попробуйте такую конфигурацию: пять сфер радиуса 100 с центрами в: вершинах тетраэдра с ребром 1, и в центре тетраэдра. Такая сфера пересекает такую почти по экватору. Посчитайте - по известному решению, как растет число частей при двух. трех. четырех "вершинных" сферах. Сделайте, наконец, то же для "центральной"...

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 01:13 


25/02/17
3
У меня на рисунке получается, что центральная сфера слишком большая, и не пересечет достаточное кол- во областей. Есть идея взять криволинейный тетраэдр, образованный четырьмя сферами с центрами в вершинах тетраэдра, рассмотреть его как бы отдельно, учитывая, что у него четыре вершины, шесть ребер, и 4 стороны, которые при продолжении его сторон дают как раз 14 областей, которые лежат внутри системы из 4х сфер (+2 - внешнее пространство и внутренность самого криволинейного тетраэдра) и прибегнуть к малому шевелению одной его грани, как бы чуть повернув ее (Это обозначит пятую сферу.) Вроде бы это сечет все области, кроме двух, что и требуется. Но я не уверен еще в решении.

Удивился, когда услышал, что на олимпиаде засчитывается простое решение по индукции - две сферы поверхность третьей делят на 4 обл, 3 сферы 4-ю на 8, 4 5-ю на 14 и.т. д. Это же фактически оценка сверху без построения примера. Ведь нужно еще доказать существование разбиения на 30 частей, а не просто объяснить, почему больше невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько частей макс разбивают пространство 5 сфер/ n сфер
Сообщение26.02.2017, 10:12 


25/02/17
3
Upd с утра на свежую голову разобрался в решении DeBill, да, действительно оно более красивое. Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group