Объем правильного симплекса

[juna]

Найти объем правильного симплекса со стороной $a$ в $M$-мерном пространстве

[maxal]

См. http://mathworld.wolfram.com/Cayley-Men ... inant.html

[juna]

Если Вас не затруднит, приведите явную формулу, ведь сторона правильного симплекса задана и равна $a$.

[maxal]

Формула получается в лоб вычислением определителя матрицы Кели-Менгера:

$$\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}\frac{a^n}{n!}$$

[juna]

Если под $n$ понимать размерность пространства, то для $n=3$ формула врет. Объем правильного тетраэдра равен $V=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$.
У меня без использования определителей получилась формула $\frac{a^M}{M!}\frac{\sqrt{M+1}}{(\sqrt{2})^M}$. Нужно проверить, правильна ли она.

[maxal]

Была описка: вместо $2^n$ стояло $2n$. Исправил.

[juna]

Мои рассуждения, хотя и нестрогие в математическом смысле, кажутся интересными, поэтому приведу их здесь. Будем рассуждать по аналогии и определим объем симплекса в $M$ - мерном пространстве как $V_M=\frac{V_{M-1}H_M}{M}$, где $V_{M-1}$ - объем грани в $M-1$ -мерном пространстве, $H_M$ - высота симплекса в $M$ - мерном пространстве. Таким образом, получаем следующую формулу $V_M=\frac{1}{M!}H_0H_1H_2...H_M$. Вся наша задача - это научиться выражать $H_i$ через $a$. Допускаем, что в $M$ - мерном пространстве выполняется теорема Пифагора, тогда всегда получаем треугольник, в котором гипотенуза равна $a$, один из катетов является высотой, а другой может быть выражен через $a$ на основе следующих бариоцентрических соображений:
- высота правильного треугольника опускается в центр масс отрезка - основания
- высота тетраэдра опускается в центр масс треугольника-основания
Следовательно, в $M$-мерном пространстве высота правильного симплекса опускается в центр масс правильного симплекса из $M-1$ - мерного пространства.
Используя все эти бариоцентрические соотношения находим высоту правильного симплекса $H_M=a\frac{\sqrt{(M+1)M}}{\sqrt{2}M}$, из чего легко получается приведенная формула.
Справедливости ради следует отметить, что этот вопрос я уже задавал здесь, но он не нашел ответа.

[Руст]

Гораздо проще считать n мерный симплекс как грань $x_0+x_1+...+x_n=\frac{a}{\sqrt 2}, \ x_i\ge 0$. Тогда сразу получаем объём n+1 мерного (прямоугольного симплекса) $\frac{a^{n+1}}{2^{(n+1)/2}(n+1)!}$, а высота $\frac{a}{\sqrt{2(n+1)}}$.

[juna]

Можно, конечно, пользоваться и формулами безусловной оптимизации по правильному симплексу.

[alcoholist]

а чему равна длина ребра, если правильный симплекс вписан в единичную сферу?

[Munin]

Это то же самое, что найти расстояние от центра масс до вершины, то есть высоту центра масс.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1195280 писал(а):

Это то же самое, что найти расстояние от центра масс до вершины

Ну, от центра масс до вершины $1$, если вписан. А высота тогда $h=1+\frac{1}{n}$, если дело в $\mathbb{R}^n$. То есть сторона симплекса равна $a=\sqrt{2+\frac{2}{n}}$, а объем

$$ \frac{(n+1)^{\frac{n+1}{2}}}{n!\,\,n^{\frac{n}{2}}}? $$

Что-то я плохо сегодня соображаю...

[Munin]

alcoholist в сообщении #1195302 писал(а):

Ну, от центра масс до вершины $1$, если вписан.

Я подразумевал "если взять сторону за единицу".

Я подумаю.

[Munin]

Проще всего взять $n$-мерный симплекс в $(n+1)$-мерном пространстве как часть плоскости $\sum x_i=1,$ лежащую в положительном квадранте. Его сторона $a=|(1,0,\ldots)-(0,1,0,\ldots)|=\sqrt{2}.$ Его центр в точке $C=(\tfrac{1}{n+1},\ldots).$ Расстояние от центра до вершины

$$r=|C-(1,0,\ldots)|=\sqrt{(1-\tfrac{1}{n+1})^2+n(\tfrac{1}{n+1})^2}=\sqrt{\tfrac{n}{n+1}}.$$

А, всё это уже написал Руст аж в 2006 году.