Задача с наклонной плоскостью и пружинами

[Rusit8800]

Задача: Брусок массой $m=0.5$ кг, образующий с горизонтом угол $\[\alpha \]$ ($\[\sin \alpha = 0.6\]$).Брусок соединен с вершиной наклонной плоскости недеформированной пружиной жесткостью $k=64$Н/м. Какую скорость $v$ нужно сообщить бруску вверх вдоль наклонной плоскости, чтобы он вернулся и остановился в начальной точке? Коэфф. трения равен $\mu=0.8$.
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда тело "пнули" вверх и оно замерло в высшей точке.

$$\[\begin{gathered} \vartriangle {E_0} = - {A_{{F_\mu }}} \hfill \\ mg\vartriangle x\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle {x^2}}}{2} - \frac{{m{v^2}}}{2} = - \mu mg\vartriangle x\sin \alpha \hfill \\ \frac{{m{v^2}}}{2} = \vartriangle x\left( {\mu mg\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle x}}{2} + mg\sin \alpha } \right) \hfill(1) \\ \end{gathered} \]$$

Теперь рассмотрим случай, когда тело из высшей точки попадает в ту точку, где оно было первоначально.

$$\[\begin{gathered} \vartriangle {E_{01}} = mg\vartriangle x\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle {x^2}}}{2} \hfill \\ \vartriangle {E_{02}} = 0 \hfill \\ \vartriangle {E_0} = \vartriangle {E_{02}} - \vartriangle {E_{01}} = - mg\vartriangle x\sin \alpha - \frac{{k\vartriangle {x^2}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ \vartriangle {E_0} = {A_{{F_\mu }}}^\prime \hfill \\ mg\vartriangle x\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle {x^2}}}{2} = \mu mg\sin \alpha \hfill \\ \vartriangle x = \frac{{2mg\sin \alpha (\mu - 1)}}{k} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Подставим $\[\vartriangle x\]$ в уравнение (1):

$$\[\begin{gathered} \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{{2mg\sin \alpha (\mu - 1)}}{k}\left( {\mu mg\sin \alpha + mg\sin \alpha (\mu - 1) + mg\sin \alpha } \right) \hfill \\ \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{{2mg\sin \alpha (\mu - 1)}}{k} \cdot 2\mu mg\sin \alpha \hfill \\ v = 2g\sin \alpha \sqrt {\frac{{2\mu m(\mu - 1)}}{k}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Однако, подставляя данные, получается, что подкоренное выражение отрицательно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: наверное, это сюда.

-- 24.02.2017, 14:35 --

Rusit8800, постарайтесь размещать темы в подходящих для них разделах, а также как-нибудь явно формулировать предмет обсуждения. В данный момент у этой темы его нет.

[DimaM]

Rusit8800
Выражение для силы реакции опоры не такое. Разберитесь, где нужен синус, а где косинус.
Опять-таки видится, что закон сохранения энергии для всего процесса может сильно упростить вычисления.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195028 писал(а):

Опять-таки видится, что закон сохранения энергии для всего процесса может сильно упростить вычисления.

Ну, я использовал энергию для решения задачи. Неужели есть разница, какое именно из утверждений про энергию использовать?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195033 писал(а):

Ну, я использовал энергию для решения задачи.

И наделали ошибок по пути.

Rusit8800 в сообщении #1195033 писал(а):

Неужели есть разница, какое именно из утверждений про энергию использовать?

Есть: видно, что сложные выражения вам пока не под силу, с простыми больше шансов дойти до конца.

Напишите-ка для начала величину силы реакции опоры и силы трения скольжения.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195028 писал(а):

Выражение для силы реакции опоры не такое. Разберитесь, где нужен синус, а где косинус.

Значит надо решить такую систему уравнений?

$$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{m{v^2}}}{2} = \vartriangle x\left( {\mu mg\cos \alpha + \frac{{k\vartriangle x}}{2} + mg\sin \alpha } \right) \hfill \\ mg\vartriangle x\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle {x^2}}}{2} = \mu mg\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

-- 24.02.2017, 17:25 --

DimaM в сообщении #1195038 писал(а):

Напишите-ка для начала величину силы реакции опоры и силы трения скольжения.

$\[{ mg\cos \alpha }\]$ и $\[{\mu mg\cos \alpha }\]$ как в системе

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195039 писал(а):

Значит надо решить такую систему уравнений?

Во втором уравнении в правой части размерность неправильная.
Если ваши уравнения сложить и сократить лишнее, получится одно уравнение, гораздо более простое (которого я пытался от вас добиться). Его удобно подставить вместо первого вашего.

-- 24.02.2017, 20:27 --

Rusit8800 в сообщении #1195039 писал(а):

$\[{ mg\cos \alpha }\]$ и $\[{\mu mg\cos \alpha }\]$ как в системе

Хорошо, двигайтесь дальше.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195042 писал(а):

Во втором уравнении в правой части размерность неправильная.

Ой, я сократил плохо, сейчас исправлюсь

-- 24.02.2017, 17:29 --

$$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{m{v^2}}}{2} = \vartriangle x\left( {\mu mg\cos \alpha + \frac{{k\vartriangle x}}{2} + mg\sin \alpha } \right) \hfill \\ mg\sin \alpha + \frac{{k\vartriangle x}}{2} = \mu mg\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

-- 24.02.2017, 17:29 --

Второе уравнение на $\[\vartriangle x\]$

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195043 писал(а):

Второе уравнение на $\[\vartriangle x\]$

Теперь верно, осталось решить.

[Rusit8800]

$$\[v = 2g\sqrt {\frac{{2\cos \alpha (\mu \cos \alpha - \sin \alpha )}}{k}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \approx 0.63\]$$

[DimaM]

Rusit8800
Точно масса потерялась. И скорость не может быть равна просто числу, она выражается в некоторых единицах (каких в вашем случае?).

[Rusit8800]

$$\[v = 2g\sqrt {\frac{{2m\cos \alpha (\mu \cos \alpha - \sin \alpha )}}{k}} $$

-- 25.02.2017, 20:16 --

DimaM в сообщении #1195243 писал(а):

И скорость не может быть равна просто числу, она выражается в некоторых единицах (каких в вашем случае?).

(Оффтоп)

Интересно, почему физиков так бесит, когда не пишут размерности?

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1195335 писал(а):

Интересно, почему физиков так бесит, когда не пишут размерности? :-)

Может быть, потому что они видят, как при этом куча работы обессмысливается?

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1195335 писал(а):

Интересно, почему физиков так бесит, когда не пишут размерности?

Я люблю по этому поводу рассказывать студентам историю АМС Mars Climate Orbiter, для которого группа астродинамиков считала требуемую тягу для маневров в фунт-силах (и предполагала, что это само собой разумеется), а конструкторы двигателей интерпретировали то же число как требуемую тягу в ньютонах (и также полагали, что это само собой разумеется). В результате АМС погибла. Раздолбайское отношение к размерностям обошлось в примерно 125 миллионов долларов.

P.S. История обычно рассказывается примерно 1 сентября на 1 курсе. С комментарием, что тех, кто не будет указывать размерности, я буду жестоко убивать.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195335 писал(а):

$$v = 2g\sqrt {\frac{2m\cos \alpha (\mu \cos \alpha - \sin \alpha )}{k}} $$

Почти правильно.