Модуль над кольцом целых чисел

[demolishka]

Пусть задан конечный или счетный набор вещественных чисел $\lambda_k \in \mathbb{R}, \ k=1,2,\ldots.$ Пусть $G$ --- наименьшая аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ (модуль над $\mathbb{Z}$), содержащая все $\lambda_k$.
Пусть $\omega_1,\ldots,\omega_n \in \mathbb{R}$ таковы, что для всех $k$ имеет место единственное представление

$$\lambda_{k}=\sum_{j=1}^{n}a^{(k)}_j \omega_j,$$

где $a^{(k)}_j \in \mathbb{Z}, \ j=1,\ldots,n$.

Следует ли отсюда, что можно выбрать $\omega_1,\ldots,\omega_n$ так, чтобы для всех $j$ и некоторого $k_j$ выполнялось $\omega_j = \lambda_{k_{j}}$?

Вообще непонятно следует ли отсюда, хотя бы то, что $G$ порожден некоторым конечным набором своих элементов. Модуль $W$ порожденный числами $\omega_1,\ldots,\omega_n$ содержит $G$. Но интуиция с векторными пространствами тут мне кажется не работает, делить нельзя.

Единственное, что мне удалось нагуглить по теме "базисов модулей", так это то, что если кольцо коммутативное, то все базисы (если они есть) равномощны. По вопросу существования базисов ничего не дается.

[AV_77]

Так как для всех $k$ представления $\lambda_k = \sum a_j^{(k)} \omega_j$ единственны, то омеги линейно независимы и, следовательно, порождают свободную группу $H$ ранга $n$, а $G$ - ее подгруппа, которая также является свободной ранга $m \leq n$. Кроме того, в $H$ и $G$ можно выбрать согласованные базисы, для простоты можно считать, что одним из базисов $G$ будет $c_1 \omega_1$, $\ldots$, $c_m \omega_m$ для некоторых $c_1, \ldots, c_m \in \mathbb{Z}$. Так как лямбды порождают $G$, то выберем среди них те, опять-таки можно считать, что это $\lambda_1$, $\ldots$, $\lambda_t$, которые входят в разложения для $c_i \omega_i$, это снова будет конечной системой порождающих для $G$. Осталось попробовать среди них выбрать базис.

[demolishka]

AV_77,
тогда остальные лямбды (которые не вошли в базис) можно выразить только с рациональными коэффициентами через выбранные. Соответственно выражение с целыми коэффициентами получится не для $c_i \omega_i$ а для $A c_i \omega_i$, при некотором целом $A$.

[mihaild]

Вопрос в том, всегда ли можно из системы порождающих выбрать линейно независимую порождающую подсистему? Нет, не всегда, даже в одномерном (в смысле ранга над $\mathbb{Z}$) случае: можно легко найти пару целых чисел, отличных от $\pm 1$, через которые выражаются все целые числа.