Где можно найти ПРОСТОЕ объяснение понятия "градиент"?

[PetrPetrov]

Где можно найти ПРОСТОЕ объяснение понятия "градиент" в физике? В частности, что такое градиент скоростей и градиент температур? Просто в интернете я не смог найти нормальную информацию об этом. Разве что Википедия, но там не очень понятно.

[mihaild]

А что вы потом хотите с этим понятием делать? И что вам непонятно в стандартном определении (приведенном в той же википедии 1й строчкой)?

[PetrPetrov]

Единственное что я собираюсь с этим понятием делать так это его понять. Из определения Википедии я понял что по модулю градиент это скорость изменения некоторой величины в определённом направлении. Однако пример с высотой над уровнем моря из Википедии мне не очень понятен. Например, если говорят "здесь присутствует градиент скоростей" что это значит? Как меняется скорость?

[Munin]

PetrPetrov в сообщении #1194213 писал(а):

Просто в интернете я не смог найти нормальную информацию об этом. Разве что Википедия, но там не очень понятно.

А в книгах смотреть не пробовали?

[Metford]

PetrPetrov в сообщении #1194217 писал(а):

Единственное что я собираюсь с этим понятием делать так это его понять.

Немного. Градиент температур легко не просто представить себе, но и почувствовать. Будем надеяться, что у Вас сейчас всё в порядке с отоплением. Медленно подносите руку к батарее (в контакт входить необязательно). При этом будете ощущать, как меняется температура с приближением к батарее. Это изменение можно охарактеризовать вектором градиента температуры. Направлен этот вектор будет в сторону её скорейшего возрастания, как нас учит любой учебник анализа. Вот примерно так - если совсем на пальцах.

[Александрович]

Metford в сообщении #1194221 писал(а):

Это изменение можно охарактеризовать вектором градиента температуры.

Градиент сам вектор. Вектором вектора?

[Metford]

Александрович в сообщении #1194224 писал(а):

Градиент сам вектор. Вектором вектора?

Если я говорю "вектор скорости", то я допускаю тавтологию? Пожалуйста, слово "вектор" можно снять - суть примера от этого не изменится.

[Александрович]

PetrPetrov в сообщении #1194217 писал(а):

Однако пример с высотой над уровнем моря из Википедии мне не очень понятен.

Градиент в этом случае показывает направление наибольшего возрастания высоты и величину этого возрастания.

PetrPetrov в сообщении #1194217 писал(а):

Например, если говорят "здесь присутствует градиент скоростей" что это значит? Как меняется скорость?

Изменение скорости равно модулю градиента, который направлен в сторону наибольшего изменения скорости.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не понимаю, что такого неясного может быть в обычном математическом определении $\operatorname{grad}f = (df)^\sharp$.

[matidiot]

Когда-то, очень давно, столкнулся с понятием "градиент электрического поля". Так и не понял, как можно взять градиент от градиента?

[Alex-Yu]

matidiot в сообщении #1194275 писал(а):

Когда-то, очень давно, столкнулся с понятием "градиент электрического поля". Так и не понял, как можно взять градиент от градиента?

Никаких проблем. Хотя в начальных курсах говорится только о градиенте скаляра, но может быть и градиент вектора --- получится тензор второго ранга.

Вообще градиент --- это просто набор пространственных производных по всем имеющимся координатам. Берем производные от скаляра -- получится вектор, от вектора --- получится тензор второго ранга и т.д. В принципе вектор (точнее векторное поле) можно представить как набор трех его компонент. Каждую из них вполне можно продифференцировать, взять градиент от компоненты вектора. Итого индексов будет два: один отмечает, какая дифференцировалась компонента, второй --- по какой координате.

Таким образом, тензор градиента электрического поля (обозначим его $g_{ij}$) --- это

$$ g_{ij} = - \frac{\partial^2\phi}{\partial x_i \partial x_j} $$

Естественно, здесь $\phi$ --- ничто иное, как электростатический потенциал.

Поскольку порядок производных не существенен, то этот тензор оказывается симметричным: $g_{ij}=g_{ji}$.

Полезно также заметить, что дивергенция вектора --- это ничто иное, как шпур градиента этого вектора, ротор --- свертка градиента вектора с единичным полностью антисимметричным тензором третьего ранга (Леви-Чевита). Поскольку тензор Леви-Чевита полностью асимметричен, то в ротор войдет только асимметричная часть градиента вектора (в частности, сразу очевидно, что ротор от ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО поля равен нулю --- записанный выше $g_{ij}$ симметричен, асимметричной части не имеет). Иногда ротором вообще называют асимметричную часть тензора градиента вектора, такой асимметричный тензор дуален вектору ротора, в сущностном смысле одно и то же (одно однозначно определяет другое и наоборот).

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #1194280 писал(а):

Таким образом, тензор градиента электрического поля (обозначим его $g_{ij}$) --- это

Правильнее, все же, электростатического, иначе добавится что-то вроде

$$\dfrac{\partial^2A_i}{\partial t\partial x_j},$$

кстати, несимметричное по индексам.

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #1194283 писал(а):

Правильнее, все же, электростатического,

Ничего не могу поделать: стандартный термин (и стандартное сокращение: ГЭП). Широко используется, в частности, в теории магнитного резонанса (при учете квадрупольных взаимодействий). Ну а теоретически Вы, конечно, правы.