Периодическая функция нескольких переменных

[demolishka]

Пусть $f \colon \mathbb{R}^n \to X$ --- непрерывная 1-периодическая по каждой переменной функция со значениями в банаховом пространстве $X$. Предположим, что для некоторого вектора $(T_1,\ldots,T_n) \in \mathbb{R}^n$ и всех $(t_1,\ldots,t_n) \in \mathbb{R}^n$ выполнено

$$f(t_1 + T_1,\ldots,t_n + T_n) = f(t_1,\ldots,t_n).$$

Следует ли отсюда, что все $T_j$ обязательно целые?

Либо я опять не вижу чего-то простого, либо это верно лишь при некоторых условиях на $f$.

[mihailm]

надо упомянуть про минимальность периода

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1193775 писал(а):

Следует ли отсюда,

Нет. И вообще периодическая функция нескольких переменных может не быть периодической по каждому из них.

Объясню для двух переменных. Рассмотрим два неколлинеарных вектора на плоскости $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$. Их линейные комбинации с целочисленными коэффициентами образуют решётку периодов $\Gamma$. Тогда функция $f(\mathbf{x}) $ называется периодической (относительно $\Gamma$) если $f(\mathbf{x}) =f(\mathbf{x}+\mathbf{T})$ для всех $\mathbf{T}\in \Gamma$. Очевидно, кроме вырожденного случая, можно говорить о минимальной решётке периодов. При этом решётка может быть порождена разными наборами векторов. Выбрав конкретный набор $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$, можно ввести элементарную ячейку $\{t_1\mathbf{e}_1+t_2 \mathbf{e}_2\}$ с $t_1,t_2\in [0,1)$, периодические функции разлагаются в ряды Фурье

$$f(\mathbf{x})=\sum_{\mathbf{p}\in \Gamma^*} a_{\mathbf{p}} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}},$$

где $\Gamma^*$ двойственная решётка: $\mathbf{T}\cdot\mathbf{p}\in 2\pi\mathbb{Z}\qquad \forall \mathbf{T}\in \Gamma\ \ \forall \mathbf{p}\in \Gamma^*$.
Всё это имеет серьезные применения в ФТТ.

[demolishka]

Red_Herring, спасибо.