Независимость исходов подбрасывания двух монет

[gris]

Я имел в виду определённой масти. То есть $P(1)=2P(0)=2P(2)$
Но вообще, это была шутка. Я думал, что тема перешла в юмористическую стадию

[Лукомор]

Red_Herring в сообщении #1193745 писал(а):

Очень просто: цифра означает число орлов, и потому исходов три: 0,1,2.

Не выходит.
И дело тут даже не в том, что при такой трактовке для трех монет будет четыре исхода, а для $N$ монет $N+1$ исход, и чем больше монет, тем легче равновероятность таких исходов опровергается серией опытов.
Дело в том, что в случае трех равновероятных исходов, любая из двух монет с вероятностью $\frac{2}{3}$ будет выпадать той же стороной, что и другая монета, и лишь с вероятностью $\frac{1}{3}$ - противоположной стороной.

[Red_Herring]

Лукомор в сообщении #1193808 писал(а):

любая из двух монет с вероятностью $\frac{2}{3}$ будет выпадать той же стороной, что и другая монета, и лишь с вероятностью $\frac{1}{3}$ - противоположной стороной.

Ну и что? Почему они д.б. независимыми? Уже объясняли же, что ошибка ТС заключается в том, что он считает монеты принципиально неразличимыми, а таких монет не бывает в нашем физическом мире. Но вот элементарные частицы такими бывают. Поэтому любое объяснение, основанное на семантике--принципиально неправильное.

[reptiloid]

Munin в сообщении #1193717 писал(а):

Физически монеты всегда отличимы, даже если вы не хотите их отличать.

Чтобы добраться до неотличимых объектов, вам потребуется перейти от макроскопических монет к квантовым частицам и системам. Вот они могут быть истинно неотличимы, причём двумя разными способами: по статистике Бозе-Эйнштейна и по статистике Ферми-Дирака.

Ладно, пусть они будут отличимы.
Почему результаты бросков независимы?

[Munin]

reptiloid в сообщении #1193845 писал(а):

Ладно, пусть они будут отличимы.
Почему результаты бросков независимы?

Потому что каждая монета взлетает и падает, ничего не зная о другой, между ними нет ни физического, ни информационного, ни какого-либо ещё канала передачи и связи.

В физике это демонстрируют так: можно бросать две монеты рядом, можно - в соседних комнатах, можно за тысячи километров, можно - одну сразу, а другую через полчаса. И наконец, можно даже два раза бросить одну и ту же монету. Результаты будут распределены одинаково во всех этих случаях.

[reptiloid]

А как физика влияет на математику?
Почему можно перемножать вероятности, если монеты ничего не знают друг о друге?

[Munin]

Нарисуйте квадрат. По одной оси координат отложите исход одного опыта (с первой монетой). По другой - отложите исход другого опыта (со второй монетой). Внутри квадрата - получите результаты совокупного опыта (состоящего из первого и второго). Если вы это понимаете, то дальше подумайте, какие вероятности будут у различных исходов совокупного опыта.

[arseniiv]

reptiloid в сообщении #1193868 писал(а):

А как физика влияет на математику?

Никак. Просто только одна математическая модель будет хорошо описывать то, что происходит с монетами.

[Mikhail_K]

reptiloid в сообщении #1193868 писал(а):

А как физика влияет на математику?
Почему можно перемножать вероятности, если монеты ничего не знают друг о друге?

Здесь есть объяснение.
Пусть $A$ и $B$ - два физически независимых события. Таких как, например, "первая монета упала орлом" и "вторая монета упала орлом".
Тогда $P(A|B)=P(A)$, $P(B|A)=P(B)$.
Здесь $P(A)$ - вероятность события $A$ - доля случаев, в которых событие $A$ реализовалось, среди всех проведённых испытаний (если этих испытаний достаточно много).
А $P(A|B)$ - условная вероятность - доля случаев, в которых событие $A$ реализовалось, среди только тех испытаний, в которых реализовалось событие $B$.
Равенство $P(A|B)=P(A)$ как раз и означает, что событие $B$ никак не влияет на событие $A$ и частоту его появления.
Точно так же и с равенством $P(B|A)=P(B)$.
Легко установить эквивалентность этих равенств формуле умножения вероятностей $P(AB)=P(A)P(B)$.
Вот и всё.
(Если что-то здесь не понятно, почитайте про условные вероятности.)

[NPrim]

reptiloid
Ваш вопрос -- это самый первый парадокс в книге Секей "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике". Эта книга упоминалась на форуме в других темах.

Секей в книге «Парадоксы в теории вероятностей...» (М.: Мир, 1990) на стр. 14 писал(а):

Однажды Даламберу задали следующий вопрос: с какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? Ответ ученого был 2/3, так как он считал, что есть лишь три возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка) и среди них только один неблагоприятный, т. е. когда выпадают две решки. Даламбер пренебрегал тем, что три возможных исхода не равновероятны. Правильным ответом является 3/4, потому что из равновозможных исходов герб-герб, герб-решка, решка-герб и решка-решка только последний является неблагоприятным. Точка зрения Даламбера была даже опубликована в Энциклопедии в 1754 г. в статье «Герб и решетка» ("Croix on pile").

Задача о костях некоторым образом связана с направлениями физики XIX и XX веков. Предположим, что вместо игральной кости мы имеем дело с физическими частицами. Каждая грань кости соответствует теперь фазовой ячейке, в которой частица оказывается случайным образом и которая характеризует состояние частицы. В этом случае игра в кости эквивалентна модели Максвелла — Больцмана для физических частиц. В этой модели, используемой обычно для молекул газа, каждая частица с равными шансами попадает в любую ячейку, так что при описании множества равновозможных исходов следует учитывать порядок так же, как и в задаче о костях. Существует другая модель, в которой частицы неразличимы, и поэтому при подсчете равновозможных исходов порядок не надо принимать во внимание. Эта модель названа именами Бозе и Эйнштейна. Используя эту терминологию, можно сказать, что суть нашего парадокса в том, что игра в кости описывается моделью Максвелла — Больцмана, а не Бозе — Эйнштейна. Следует отметить, что ни одна из этих моделей не корректна для связанных электронов, так как в этом случае в каждой ячейке может оказаться не более одной частицы. Используя терминологию игры в кости, можно сказать, что если на одной кости выпала 6, то ни на какой другой кости 6 уже выпасть не может. Это модель Ферми — Дирака. Возникает вопрос, применение какой модели корректно в конкретной ситуации. (Кроме указанных трех моделей, существует множество других.) Вообще говоря, мы не можем выбрать какую-либо модель, исходя лишь из логических соображений. В большинстве случаев решить этот вопрос позволяют опыт либо наблюдения. Однако в случае с игральной костью очевидно, что корректна модель Максвелла — Больцмана, а в данный момент это все, что нам нужно.