Определение функциональной независимости

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Прошу помочь с понимаем определения функциональной независимости у Зорича, т.1, т.к., как мне кажется, это определение однозначно понять нельзя.
Вот вариант определения у Зорича из русскоязычного и англоязычного издания:



Я пытаюсь записать это в кванторном виде, чтобы было понятно, где и какие окрестности. Но у меня получается, что либо следующие за этим теоремы доказать нельзя, либо линейная независимость не является частным случаем функциональной. Делал, например, так. Пусть $f^i \in C(U,\mathbb R)$, где $U \subset \mathbb R ^m$, $i \in \{1,\ldots,n\}$; положим $f:=(f^1,\ldots,f^n)$, т.е. $f^i$ -- компоненты $f$, и пусть $y_0 := f(x_0)$, где $x_0 \in U$.

Мой неудачный вариант 1. Система функций $\{f^i\}$ функционально независима в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0 \in U$, если $\forall \mathcal O (y_0) \supset f(U(x_0)) \, \forall F \in C(\mathcal O (y_0),\mathbb R): \, (F(f(x)) = 0 \text{ для всех } x \in U(x_0)) \Leftrightarrow (F(y) = 0 \text{ для всех } y \in \mathcal O (y_0))$

Этот вариант плох тем, что для всех $x \in U(x_0)$ точки $f(x)$ пробегут только $f(U(x_0))$, и потому остается произвол в определении функции $F$ на $\mathcal O (y_0) \setminus f(U(x_0)),$ где ее можно сделать ненулевой. Тогда, стало быть, возможен такой вариант:

Мой вариант 2. Система функций $\{f^i\}$ функционально независима в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0 \in U$, если $\forall \mathcal O (y_0) \supset f(U(x_0)) \, \forall F \in C(\mathcal O (y_0),\mathbb R): \, (F(f(x)) = 0 \text{ для всех } x \in U(x_0)) \Leftrightarrow (\exists V(y_0) \subset \mathcal O (y_0))(F(y) = 0 \text{ для всех } y \in V (y_0))$

Может, функциональная независимость формулируется не в какой-то конкретной окрестности точки $x_0$, а так, "вблизи", без указания окрестности. Но тогда нельзя будет получить линейную независимость в частном случае:

Мой вариант 3. Система функций $\{f^i\}$ функционально независима "вблизи" точки $x_0$, если $\forall U(y_0) \forall F \in C(U(y_0),\mathbb R) \forall \mathcal O (x_0) \subset f^{-1}(U(y_0)) : (F(f(x)) = 0 \text{ для всех } x \in \mathcal O(x_0)) \Leftrightarrow \exists V (y_0) : (F(y) = 0 \text{ для всех } y \in V(y_0))$

Но, возможно, если как-то изменить третий вариант, то подходит именно третий.

[arseniiv]

Вот у вас тут, кстати, $\Leftrightarrow$, когда, если я ничего не упускаю, должно быть $\Rightarrow$ (не сильно существенно, т. к. $\Leftarrow$ должно быть верным для правильной формализации).

Grabovskiy в сообщении #1193312 писал(а):

$\forall \mathcal O (y_0) \supset f(U(x_0)) \ldots$

А почему не $\subset$? Разумеется, тогда у вас будут оставаться значения, которые $f$ не принимает!

[Grabovskiy]

arseniiv в сообщении #1193333 писал(а):

А почему не $\subset$? Разумеется, тогда у вас будут оставаться значения, которые $f$ не принимает!

Может случиться такое, что $f(U(x_0))$ не имеет внутренних точек.

[arseniiv]

Точно может? И, в сущности, нужна ли нам именно окрестность $y_0$ (несмотря на то, что это явно написано у Зорича), а не просто ровно $f(U(x_0))$?

-- Пт фев 17, 2017 16:02:15 --

Но вообще такое впечатление, что

Grabovskiy в сообщении #1193312 писал(а):

Может, функциональная независимость формулируется не в какой-то конкретной окрестности точки $x_0$, а так, "вблизи", без указания окрестности.

потому что иначе можно было бы указать конкретное множество — даже не обязательно окрестность — на котором определялась бы независимость.

А почему конкретно линейная независимость не будет частным случаем?

[kp9r4d]

Вам нужно сказать, что для любой функции $F$ определенной в окрестности точки $y_0$ верно следующее: "$F \circ f = 0$ локально в окрестностях точки $x_0$" $\Rightarrow$ "$F = 0$ локально в окрестностях точки $y_0$"
Что означает, "Утверждение $P(x)$ верно локально в окрестности точки $x_0$"? Означает, что существует окрестность $U(x_0)$ такая, что $\forall x \in U(x_0). P(x)$.
Если собирать, выйдет как-то так

$$\forall V(y_0) \forall F : V(y_0) \to \mathbb{R} . (\exists U(x_0) \forall x \in U(x_0) . F \circ f (x) = 0) \Rightarrow (\exists V'(y_0) \subset V(y_0) \forall y \in V'(y_0) . F(y) = 0)$$

Не хотел загромождать запись, но тут, очевидно, предполагается, что все кванторы, которые возле буковок U,V пробегают по соответствующим окрестностям соответствующих точек, а возле $ F : V(y_0) \to \mathbb{R}$ пробегает по всем непрерывным функциями и, конечно же, всё согласовано в том смысле, что $f(U(x_0)) \subset V(y_0)$

[VanD]

Поправьте, пожалуйста, если я не прав, отчего-то не пойму, кто врёт.

Получается, что $\{f_1(x) = (x^1)^2, f_2(x) = (x^2)^2\}$ -- зависима в окрестности $(0; 0)$?

В своё время лектор давал нам определение функциональной зависимости в виде "одну можно выразить через другие". И так я его с тех пор и понимал, зная, что такое оно не является полным обобщением линейной зависимости, ведь тогда система из нулевого вектора линейно зависима, но система из нулевой функции функционально независима.

Но вот независимость в таком виде, как у Зорича -- это что-то странное.

[Otta]

VanD в сообщении #1193407 писал(а):

Получается, что $\{f_1(x) = (x^1)^2, f_2(x) = (x^2)^2\}$ -- зависима в окрестности $(0; 0)$?

А в какую не равную тождественно нулю можно запихать эти две в качестве аргументов, чтобы получился тождественный ноль?

[VanD]

Пусть $F$ в замыкании первой координатной четверти равна нулю, вне его положительная какая-нибудь.

[demolishka]

А такое определение не равносильно тому, что для некоторой окрестности $U(x_0)$ множество $f(U(x_0))$ плотно в некоторой окрестности $y_0$, содержащей $f(U(x_0))$?

[Grabovskiy]

kp9r4d в сообщении #1193351 писал(а):

Если собирать, выйдет как-то так

$$\forall V(y_0) \forall F : V(y_0) \to \mathbb{R} . (\exists U(x_0) \forall x \in U(x_0) . F \circ f (x) = 0) \Rightarrow (\exists V'(y_0) \subset V(y_0) \forall y \in V'(y_0) . F(y) = 0)$$

Спасибо! С таким определением можно доказать следующую за этим теорему, а именно:



Интересно, что в условии b) не утверждается функциональная зависимость, а только то, что $f^i$ как-то гладко выражаются через "максимальную независимую подсистему"; да и не совсем понятно, как можно было бы доказать в таком случае их функциональную зависимость. Условие а) с таким определением доказать удается.

Такое определение также дает следствия: функциональная независимость -> линейная независимость; линейная зависимость -> функциональная зависимость, что есть замечательно!

[Otta]

Grabovskiy в сообщении #1193510 писал(а):

Интересно, что в условии b) не утверждается функциональная зависимость, а только то, что $f^i$ как-то гладко выражаются через "максимальную независимую подсистему"; да и не совсем понятно, как можно было бы доказать в таком случае их функциональную зависимость.

Утверждается. И доказывается. Если Вы хотите ее увидеть в знакомых обозначениях - прочитайте вторую часть доказательства.