Ложные аналогии в математике

[Mikhail_K]

Linkey в сообщении #1193416 писал(а):

Я нашёл свой пример ложной аналогии: в трехмерном пространстве есть аналог правильного трёхугольника, есть аналог правильного четырёхугольника, но нет аналога правильного пятиугольника.

Данное утверждение бессмысленно без пояснения, что именно Вы понимаете под "аналогом".
Например, почему додекаэдр не является аналогом правильного пятиугольника?

Кстати, с определённой точки зрения, аналогом квадрата в трёхмерном пространстве является не куб (или не только куб), а октаэдр.
Если мы возьмём на плоскости точки $\pm 1$ на каждой координатной оси и соединим их рёбрами, то получим квадрат.
Но если мы возьмём в трёхмерном пространстве точки $\pm 1$ на каждой координатной оси и соединим их рёбрами, то получим октаэдр.

Linkey в сообщении #1193416 писал(а):

Вроде можно взять такой пример (который мне понятен): пространство Лобачевского и внутренняя поверхность сферы.

И что общего у пространства Лобачевского и внутренней поверхности сферы?

[Linkey]

Mikhail_K в сообщении #1193423 писал(а):

Но если мы возьмём в трёхмерном пространстве точки $\pm 1$ на каждой координатной оси и соединим их рёбрами, то получим октаэдр.

По-моему, вы что-то путаете. У октаэдра 6 вершин, а не $2^3$.

Mikhail_K в сообщении #1193423 писал(а):

И что общего у пространства Лобачевского и внутренней поверхности сферы?

Можно проводить много параллельных прямых через общую точку.

[Red_Herring]

Linkey в сообщении #1193425 писал(а):

По-моему, вы что-то путаете. У октаэдра 6 вершин, а не $2^3$.

Вы просто не поняли: имелись в виду именно 6 точек, по две на каждой координатной оси.

[Linkey]

Теперь понял.
Я могу предположить, что и куб, и октаэдр являются аналогами четырёхугольника, но меня уже могут начать обвинять в фейлософии.
Поэтому попробую написать, почему полезно использовать понятие аналогии. Формулы площади круга и объёма шара довольно похожи, поэтому, зная формулу площади круга, может быть легче подобрать формулу объёма шара. Формулы объемов квадрата и куба ещё более похожи.
Если не ошибаюсь, формула, по которой вычисляется расстояние от центра треугольника до его вершины, похожа на формулу, по которой вычисляется расстояние от центра тетраэдра до его вершины. Поэтому, если нам надо найти вторую формулу, имеет смысл сначала найти первую, это может подтолкнуть мысль в верном направлении. По сути это приём эвристики (у Пойа я читал об этом).

[Red_Herring]

Linkey в сообщении #1193425 писал(а):

Можно проводить много параллельных прямых через общую точку.

Очевидно, Вы имели в виду открытый шар, а никак не "внутреннюю поверхность сферы", чтобы это ни значило.

Linkey в сообщении #1193443 писал(а):

могут начать обвинять в фейлософии.

Безусловно. Первый признак "фейлософа"--употребление термины, либо неточно определенные, либо такие, определение которых оному неизвестно. Или не к месту.

[Linkey]

Red_Herring в сообщении #1193444 писал(а):

Очевидно, Вы имели в виду открытый шар, а никак не "внутреннюю поверхность сферы", чтобы это ни значило.

Снова я не понял.
Про внутреннюю поверхность сферы я читал у кого-то, может Босса. На поверхности шара можно взять любые две точки и провести между ними прямую линию. Такая прямая линия подобна обычной прямой в двумерном пространстве, и можно через одну точку провести несколько прямых, подобия которых в двумерном пространстве будут параллельны.

Здесь есть ещё аналоги геометрии Лобачевского:

http://pikabu.ru/story/vsyo_chto_vyi_kh ... it_2767863

[Red_Herring]

Linkey в сообщении #1193450 писал(а):

На поверхности шара можно взять любые две точки и провести между ними прямую линию.

Что такое прямая линия на сфере: определите.

Linkey в сообщении #1193450 писал(а):

Про внутреннюю поверхность сферы я читал у кого-то, может Босса.

Я где-то читал, что-то вроде этого, не помню когда.

[arseniiv]

Linkey
Не путайте аналоги и модели. Модель X — это, грубо говоря, и есть само X, «выраженное» или «уложенное» в чём-то другом. Если забыть, что, скажем, точки открытого круга модели Пуанкаре лежат на евклидовой плоскости, то ничего кроме структуры плоскости Лобачевского, определённой нами при построении модели, не останется. Это есть плоскость Лобачевского. Вообще, математика хитрая, у нас на одних и тех же вещах может быть много разных структур, не обязательно в каком-то смысле совместимых. Вот как здесь, например. А ещё этот же открытый круг можно сделать моделью отрезка (хотя так не говорят), определив метрику ещё кое-как. И моделью $19$-мерного замкнутого, открытого симплекса и его поверхности. И т. п..

[Linkey]

Red_Herring в сообщении #1193452 писал(а):

Что такое прямая линия на сфере: определите.

Между двумя точками на поверхности сферы можно провести прямую линию. И можно провести кривую (в трёхмерном пространстве) линию на поверхности этой сферы, соединяющую эти две точки крайчайшим путём. Я предполагаю, что вторая линия - это "тень" первой на внутренней поверхности шара, если в его центре поместить источник света.
Вторая линия является подобием обычной прямой в двумерном евклидовом пространстве. Эта самая внутрення поверхность сферы - это не модель, а аналог пространства Лобачевского (или модель, отдельные элементы которой являются аналогами элементов пространства Лобачевского).

[arseniiv]

Linkey в сообщении #1193463 писал(а):

на внутренней поверхности шара

У шара нет внутренней и внешней поверхностей, она у него одна.

Linkey в сообщении #1193463 писал(а):

Эта самая внутрення поверхность сферы - это не модель, а аналог пространства Лобачевского

Во-первых, нельзя просто сказать «модель», не определив всё нужное — в данном случае как минимум расстояния между точками. Если они предполагаются непрерывными функциями координат точек, сфера из-за двумерности никак не подойдёт.

[Red_Herring]

Linkey в сообщении #1193463 писал(а):

Между двумя точками на поверхности сферы можно провести прямую линию

Которая не лежит на сфере.

Linkey в сообщении #1193463 писал(а):

И можно провести кривую (в трёхмерном пространстве) линию на поверхности этой сферы, соединяющую эти две точки крайчайшим путём.

Другими словами, вы говорите о геодезических, т.е. дугах больших окружностей. Если это так, то "прямыми" на сфере служат большие окружности, и у меня есть новость для вас: две такие "прямые" либо совпадают, либо имеют две точки пересечения. И в этом смысле сфера отнюдь не модель поверхности Лобачевского, но напротив. В общем, антитеза--так у вас в философии говорят. Отрезание обрезания по Гегелю?

[Linkey]

Red_Herring в сообщении #1193480 писал(а):

И в этом смысле сфера отнюдь не модель поверхности Лобачевского, но напротив. В общем, антитеза--так у вас в философии говорят. Отрезание обрезания по Гегелю?

Я и сказал что это не модель. Аналогия может быть в чём-то правильной, а в чём-то ложной, о чём собственно эта тема.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Я вот наблюдаю беседу и вижу, что Red_Herring употребляeт термины: "евклидово", "пространство", "Лобачевского".
Linkey тоже использует аналогичные слова. Hо очевидно, что в данном случае эта аналогия -- ложная.

[arseniiv]

Linkey
Если вы действительно о геометрии Римана/сферической (NB: римановы многообразия — другое), то, действительно, говорить об «аналогии» с геометрией Лобачевского — это действительно сильно. Вам, конечно, уже раз сто предлагали читать о том, о чём вы пишете, но можно повторить ещё раз.

Стоит напомнить, что не бывает просто аналогий двух вещей, аналогии полезны постольку, поскольку мы имеем хоть какое-то представление, в чём они состоят. Мало сказать «А аналогично Б», это ничего не даёт ни уму, ни сердцу. Если вам хочется щеголять подобными бинарными предикатами, замените «аналогия» на «ассоциация». Ассоциации — дело в основном персональное, так что никто ругаться на вас не станет: ну мало ли что у кого с чем ассоциируется!

Так вот, перечисленные три геометрии действительно аналогичны в том, что это геометрии многообразий с постоянной кривизной. Евклидово — с нулевой, Лобачевского — отрицательной, Римана — положительной. И это уже может что-то для кого-то значить. Но просто «ах, аналогичны, или, ой, не аналогичны» — это ни полезно, ни ново.

[Linkey]

Red_Herring в сообщении #1193444 писал(а):

Безусловно. Первый признак "фейлософа"--употребление термины, либо неточно определенные, либо такие, определение которых оному неизвестно. Или не к месту.

(Оффтоп)

Я думаю, в любом языке есть слова, которые мы вроде как понимаем, но не понимаем, почему их понимаем - не можем дать им определение. Попробуйте дать, например, определение, чем интеллект отличается от разума, или чем отлючаются понятия "любить себя" и "принимать себя таким, какой есть".