Изменение порядка интегрирования (не могу понять, верно ли)

[XpucToc]

Всем доброго утра, не могу тут разобраться с одним заданием:
"Изменить порядок интегрирования: $\int_{0}^{4}dy\int_{\frac{y^{2}}{2}}^{2\sqrt{y}}f(x,y)dx$"

Собственно, прочитал несколько источников (на mathprofi, function-x.ru, преподавательскую методичку), просмотрел все видяшки на Youtube по этой теме, которые нашёл, но что-то так и не доходит смысл. Вроде бы попытался решить, график (залил нужную область зелёным):

Полученный интеграл:
$\int_{0}^{4}dx\int_{\frac{x^{2}}{2}}^{2\sqrt{x}}f(x,y)dy$

Область интегрирования левого интеграла оставил без изменений, область интегрирования правого нашёл путём взятия обратной функции.
Два вопроса:
1. Решение правильное?
2. Есть источник, в котором простым и понятным языком описано, как решать подобные задания?

Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Из формул, да и из графиков видно, что область интегрирования симметрична относительно прямой $y=x$ , поэтому перемена порядка интегрирования сводится к "тупо" перестановке местами переменных. Поэтому ответ - правильный.
Возьмите, например, задачник Виноградова, Олехник, Садовничий Математический анализ в задачах и упражнениях,, в нем есть прекрасные методички.

[XpucToc]

Brukvalub в сообщении #1193297 писал(а):

Из формул, да и из графиков видно, что область интегрирования симметрична относительно прямой $y=x$ , поэтому перемена порядка интегрирования сводится к "тупо" перестановке местами переменных. Поэтому ответ - правильный.
Возьмите, например, задачник Виноградова, Олехник, Садовничий Математический анализ в задачах и упражнениях,, в нем есть прекрасные методички.

Большое спасибо за ответ, значит, что-то всё-таки в голове осело
За книжку отдельное спасибо!

[ewert]

XpucToc в сообщении #1193288 писал(а):

область интегрирования правого нашёл путём взятия обратной функции.

"Обратных функций". А они не такие. Соответственно, и картинка неверна.

Хотя это явно из-за опечатки в условии (буквально таких учебных задач не бывает).

[XpucToc]

ewert в сообщении #1193324 писал(а):

XpucToc в сообщении #1193288 писал(а):

область интегрирования правого нашёл путём взятия обратной функции.

"Обратных функций". А они не такие. Соответственно, и картинка неверна.

Хотя это явно из-за опечатки в условии (буквально таких учебных задач не бывает).

Только сейчас увидел - в условии действительно опечатка, причём в тетрадь переписал правильно и чертёж сделан по нему:

$\int_{0}^{4}dy\int_{\frac{y^{2}}{4}}^{2\sqrt{y}}f(x,y)dx$

Да, и в обратной функции такая же опечатка.