Треугольники равной площади

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1189236 писал(а):

Уравнение $xy(x^2-y^2)=zt(z^2-t^2)$ вроде бы рассматривалось, спросите Гугл.

Речь о парах пифагоровых треугольников равных площадей, подразумевается $\gcd x,y,z,t=1$, хотя сами тройки не обязательно примитивные. Может я плохо смотрел, но Гугл молчит на сей счет. Если четверка $x_0,y_0,z_0,t_0$ - решение, то $x_0+y_0,x_0-y_0,z_0+t_0,z_0-t_0$ - тоже решение, и обратно. Своего рода близнецы. В первой сотне их не менше ста $(x,y,z,t<100)$, и подобрать их легче, поскольку функция от двух переменных, но о решении как таковом даже упоминаний не встретил. Единственное что удалось:

$$x_1=q(p^4+4q^4)\ y_1=2q(p^4-2q^4)\ z_1=6pq^4\ t_1=p(p^4-2q^4)$$

$$x_2=3qp^4\ y_2=q(p^4-8q^4 )\ z_2=p(p^4+4q^4 )\ t_2=p(p^4-8q^4 )$$

Пары $p,q$ вз. простые. Решение не полное, в детали не вдаюсь

[kalin]

Andrey A, хотя бы один пример треугольников можно выудить из этих формул?

[Andrey A]

Берите по абсолютной величине. $p=1,q=1:\ x_1=5,y_1=2,z_1=6,t_1=1$ Евклидовы тройки помните?
$5^2-2^2=21,2\cdot 5\cdot 2=20,5^2+2^2=29$
$6^2-1^2=35,2\cdot 6\cdot 1=12,6^2+1^2=37$
Прямоугольные треугольники со сторонами $(21,20,29)\ (35,12,37)$ имеют площадь $s=20\cdot 21/2=35\cdot 12/2=210$. Кстати, это наименьшая пара.

[kalin]

Andrey A, понятно стало. очень понравилось. Правда, числа уж будут громадные у других вариантах.

[Andrey A]

kalin в сообщении #1193134 писал(а):

... числа уж будут громадные

Бывает, что большие числа оказываются кратны и сваливаются в маленькое решение. Во всяком случае это не доказательство неполноты. Но, выбирая произвольные $p,q$, получаем четверку $x,y,z,t$ такую, что $\frac{z-t}{x-y}=\frac{p}{q}$. Если бы решение было общим, то взаимозамена $p\leftrightarrow q$ в силу симметрии самого уравнения имела бы следствием зеркальный результат, чего не происходит. Значит могут быть другие решения, и это прблема.

[kalin]

Andrey A, согласен. Очень похоже на задачу о четырех кубах. Там тоже нашлось много неполных решений, но обнаружились и полные. Первое полное дал, по-моему. Харди.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1189337 писал(а):

Если есть ссылки о нахождении подобных пар (а не троек), буду признателен.

Информация о пифагоровых треугольниках с одинаковой площадью содержится, например, в небольшом разделе во 2 томе у Диксона в "Истории теории чисел" (по состоянию на начало 20 века), на середину 20 века у Серпинского в "Пифагоровых треугольниках" (тоже есть раздел), по состоянию на начало 21 века есть совсем небольшой раздел у Гая с именами и результатами, представляющими интерес, в "Нерешенных проблемах теории чисел".

Для нахождения пар пифагоровых треугольников с одинаковой площадью можно рассматривать кроме указанного также и уравнения
$x^4-y^4=r^4-s^4$,
$xy(x^2+y^2)=rs(r^2+s^2)$,
$x^4\pm{6}{x^2}{y^2}+y^4=r^4\pm{6}{r^2}{s^2}+s^4$,
$x^4+4y^4=r^4+4s^4$,
поскольку в правых и левых частях стоят выражения, дающие конгруэнтные числа.
Можно, наконец, допустить, и одинаковые выражения для генераторов в исходном уравнении.
Это допущение дает, к примеру, следующие параметризации для сторон пифагоровых треугольников $(a,b,c, a^2+b^2=c^2)$ и $(A,B,C, A^2+B^2=C^2)$
$A=|2+6t+6t^2+4t^3|, B=|-2t-t^2+2t^3+t^4|, C=|2+6t+7t^2+2t^3+t^4|$
$a=|-2-2t+2t^3+2t^4|, b=|2t+5t^2+2t^3|, c=|2+2t+t^2+2t^3+2t^4|$
$t\ne{-2},-1,-1/2,0,1,2$
При этом площади треугольников одинаковы $S=t(t^2-1)(t+2)(2t+1)(t^2+t+1)$
Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна
(тут мы имеем дело с бесконечным семейством эллиптических кривых), то любое частное параметрическое решение,
видимо, представляет интерес.

[kalin]

Класс! t=3 ;
A=182; B=120; C=218; S=10920
a=208; b=105; c=233; S=10920

[Andrey A]

scwec, спасибо! Буду разбираться, но кое-что по горячим следам.

Систему можно записать так: $\begin{cases} (xz)^2+(yt)^2=p^2 \\ (xt)^2+(yz)^2=q^2 \end{cases}\ $ откуда $\begin{cases} p^2+q^2=(x^2+y^2)(z^2+t^2) \\ p^2-q^2=(x^2-y^2)(z^2-t^2) \end{cases}$ и

$$p^4-q^4=(x^4-y^4 )(z^4-t^4)$$

Такое уравнение интересно само по себе и для кубов, о нем может быть больше сведений (на счет $>4$ что-то не понимаю). Исходное - частный случай. Обозначим площадь треугольников $s=xyzt/2.$ Тогда

$p^2+4s=(xz+yt)^2$
$p^2-4s=(xz-yt)^2$
$q^2+4s=(xt+yz)^2$
$q^2-4s=(xt-yz)^2\ $

$$4s=(xz+yt)^2-p^2=p^2-(xz-yt)^2=(xt+yz)^2-q^2=q^2-(xt-yz)^2$$

Имеем тройки квадратов, равноудаленных друг от друга на числовой оси. Каждая такая тройка действительно описывается через евклидовы тройки, у Серпинского это называется "согласные числа" стр. 44. В предыдущей главе он рассматривает то же уравнение в рациональных числах (к вопросу конгруэнтных), и оказывается, если есть одно решение, то их бесконечно много. Нас же интересуют пары таких троек, чего он только касается и дает пример, но дальше не идет. А их может быть и больше:

$$1838, 1418, 802$$

$$2722, 2458, 2162$$

$$3191, 2969, 2729$$

$$6271, 6161, 6049$$

scwec в сообщении #1193327 писал(а):

Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна...

Означает ли это, что общего решения не существует?

[scwec]

Andrey A в сообщении #1193406 писал(а):

Означает ли это, что общего решения не существует?

Имеется в виду, что все рациональные точки на эллиптической кривой не могут быть выражены через рациональные функции от некоторых параметров.
Т.о. в данном случае общего параметрического решения с использованием только рациональных функций нет.

[Andrey A]

То есть, если я правильно понял, нет полного решения на языке теории эллиптических кривых. Если же его нет вообще, то решение для любых треугольников с положительной площадью тоже не может быть полным, ведь оно в некотором смысле просто более общий случай. Или я ошибаюсь?

[scwec]

1.Эллиптические кривые параметризуются с помощью функции Вейерштрасса.
2.Рациональными функциями они не параметризуются.
3.Исходное уравнение сводится к семейству уравнений для эллиптических кривых $w^2=u^3-S^2{u}$,
где $S$ площадь треугольника ($S$ пробегает все конгруэнтные числа).
4.Нет общего решения этого уравнения в рациональных числах $u,w$, выраженного через рациональные функции от некоторых параметров.
5. В целых числах наличие общего решения исходного уравнения с использованием только рациональных функций крайне маловероятно.

[Andrey A]

Понял, спасибо. Учиться, учиться и учиться.

[Andrey A]

scwec, удивительно! Как эту штуку ни объезжай, к ней же в итоге всегда и вернёшься. Коровье вязло. При том что похожее уравнение $xy(x+y)=xt(z+t)$ решается отлично по аналогии с первоначальной задачей:

$$x=A(Bc-bC);\ y=B(Ca-cA)$$

$$z=a(Bc-bC);\ t=b(Ca-cA),$$

где попарно вз. простые $ABC=abc$ взяты за аргумент. Более того, если рациональное $\alpha $ выразить дробью $\dfrac{ABC}{abc}$, получаем по тем же формулам $\dfrac{xy(x+y)}{xt(z+t)}=\alpha $. И задача kalinа решается по заданной пропорции, правда не полностью. Это я уже пузыри пускаю, выкидываю наводящие мысли как спасательные круги.

[scwec]

К первоначальной задаче о трех треугольниках и пяти длинах.
Можно доказать, что даже если потребовать чтобы площади всех треугольников были целыми числами, то таких троек существует бесконечно много.
Привожу пример
$(480,289,289), (322,289,289), (322,348,250)$. Площадь каждого треугольника $38640$.