vpbСлучай, когда есть одно (да даже и несколько) "выдающихся" по модулю

, приводит к нулевым

.
mihiv показал, что

можно сдвигать и вращать.
Так что остаются случаи, когда - типа,

накапливаются изнутри к всей единичной окружности.
Вот и будем стряпать контрпример из таких

....
Строить бум по индукции, из "блоков"

, содержащих нужные индексы

,

; на

м шаге построим

штук чисел

,

,

, так что к этому моменту будет всего построено

чисел. Строить будем так, что
при всех

:
База

:

,

выберем потом.
Шаг: Пусть уже построены

с номерами из

(т.е.,

). Пусть

,
При

:
(1) Все

возьмем равными,

,
(2)

, где

- корень

-й степени из единички;

, равное 0.1, выберем потом.
Лемма.

равна

, если

делится на

, и равна 0, в противном случае.
Из предположения индукции, по лемме, имеем:

верно для всех

. Но, по построению, оно верно и для

. Большая победа, шаг сделан. Осталось проверить лишь сходимость ряда из

(т.е., ряда

)
Покажем, что

для некоторого
База - за счет выбора

.
Шаг: Оценим

. По лемме,

, где сумма берется по всем собственным делителям

числа

. Для

достаточно оценить это числом

. Используя предположение индукции, приходим к :

Пусть

; это - тоже делитель

, причем

. Но

при малых

, так что для малого

шаг будет сделан.... Уффф