Внутренность границы связного множества

[Anton_Peplov]

Гипотеза: в метрическом пространстве внутренность границы связного множества пуста.
Отметим, что для произвольных топологических пространств такое утверждение неверно (контрпример дается тривиальной топологией). В то же время оно явно верно для $\mathbb R$ (где связны только промежутки) и, похоже, для любого $\mathbb R^n$. Контрпримера в метрическом пространстве построить не смог (впрочем, я вообще не силен по части придумывания метрик с экзотическими топологиями).

В какую сторону мыслю. Попробуем доказать от противного. Т.е. рассмотрим множество $A$ такое, что $B = \operatorname{int}\operatorname{Fr} A \ne \varnothing$ и покажем, что $A$ несвязно. Легко доказать, что каждая точка $B$ является граничной для $A \cap B$. Это наводит на мысль, что открыто-замкнутое множество надо лепить из точек $A \cap B$. Точек в $A \cap B$, между прочим, бесконечно много (граница конечного множества точек совпадает с самим множеством и потому имеет пустую внутренность). Вот из них бы вылепить открыто-замкнутый шар. Но - как?
Может быть, я вообще не в ту сторону думаю?

[DeBill]

Anton_Peplov
Пусть наше множество состоит из точек плоскости: нуля, и всех лучей из нуля под рациональными углами.
Оно связно, но вся плоскость состоит из граничных точек....

[Anton_Peplov]

Спасибо.