На доске написаны числа, стираем a и b заменяем на a+b+1.

[Ivan 09]

Попросили помочь с задачей.
Условие:
На доске написаны числа $1,2,3....2017$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них число $a+b+1$. После некоторого количества таких операций на доске останется одно число. Какое?

Мои рассуждения сводятся к тому что
1) складываем числа, стоящие слева и справа на одинаковом "месте" от числа $1008$
Тогда
$1007+1009+1=2017$

$1006+1010+1=2017$

$1005+1011+1=2017$

$...................................$

$1+2015+1=2017$

В итоге получаем

$1008, 2016, 2017(1008$ раз)

дальше застрял, так как надо решить быстро, и времени до утра. Может и сам решу, но задача показалась интересной.

[gris]

Решите задачу для двух чисел $(1,2)$, потом для трёх $(1,2,3)$, потом придёт ясность.

[DeBill]

Ivan 09
Ваше решение - ну, после того, как Вы его доведете до конца -
на реальной олимпиаде будет оценено в 1 балл (из 7).
Потому как главная проблема в задаче - показать, что от порядка действий - ну, какие числа в каком порядке слаживать - результат не зависит... И вот тогда уж ваш способ будет засчитан, и даст правильный ответ.
А идея решения таких задач называется "инвариант". То бишь, хорошо бы найти такую весчь, которая в процессе действий не меняется....
Может, это "сумма всех чисел плюс количество чисел" ?

[Ivan 09]

gris
DeBill
Спасибо
думаю через некоторое время приду к ответу.
уже он близок, но чего то не хватает.
может уже ночь сказывается

[Ivan 09]

у меня получилось
$x-2016-2015-....-3=4$
Откуда уже $x$ находим.
правда я не уверен на счет цифр на месте $3$ и $4$
но уверен что там будут они маленькие.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Ivan 09 в сообщении #1192178 писал(а):

может уже ночь сказывается

Надо выспаться, иначе бОшка не будет варить. Это я Вам как студент говорю.

[ugarovIvan]

Вот здесь DeBill дал Вам идею для совсем уж наглядного решения - только в Вашей задаче можно ещё упростить. Представте что у Вас есть "удочка" с $n (=2017)$ делений. Привяжем к каждому делению грузик/гирьку с массой равной номеру деления. Забудем на секунду про $+1$ в условии: $(a+b)$ по сути означает что Вам дали "закон сохранения общей массы удочки" или совсем уж просто - "закон сохранения "веса" удочки". Ссыпаем все гирьки на весы - стрелка встанет на каком-то делении. Теперь - какие бы две гирьки Вы не заменили одной эквивалентной по массе - стрелка будет показывать "туда же" ...

Теперь вспоминаем про $+1$ - каждый раз когда мы заменяем две гирьки одной (той же массы) мы ещё кидаем на весы одну гирьку "стандартной" массы равной $1$.

[sa233091]

Заметьте, что у вас каждый раз сумма чисел увеличивается на 1. Сколько будет операций? Какая будет сумма чисел? В виде какого числа представленна эта сумма?

[gris]

Я так размышлял над задачей. Представим себе, что у нас 2017 коробочек. В первой один красный шарик, во второй два красных шарика и так далее. Берём какую-то коробочку, высыпаем её в другую и пустую выкидываем. И добавляем ещё в высыпку один синий шарик из ведра. Ну и так до конца. Сколько в конце получится красных и синих шариков? Выкинул уже 2000 коробочек и проснулся

[TOTAL]

На доске написаны числа $1,2,3....N$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них число $a+b-x$, где $x$ - количество чисел на доске перед стиранием $a$ и $b$. После некоторого количества таких операций на доске останется одно число. Какое?

[warlock66613]

Решил через инвариант. Ответ — явный намёк, что есть более красивое решение.

UPD: Я имею в виду задачу TOTAL, конечно. В отличие от задачи ТС, где инвариант простой и очевидный, в задаче TOTAL
инвариант хитрее ответа, почему я и думаю, что должен быть более эффектный способ решения.

[DeBill]

Инвариантом в задаче TOTAL является число "1" !
Ну, действительно, ну оно ж ну никак не меняется...
Значить - инвариант!

[Ivan 09]

Почему-то никто не прокомментировал мой вариант выше?!
у меня получилось нечто похожее, только по-другому
$n=2 \sim 4$
Может моя запись не совсем корректна, но имеется ввиду что при $n=2 (1,2)$ останется число $4$
$n=3 \sim 8$
$n=4 \sim 13$
то есть
число которое остается в итоге, можно получить так
$m\sim n+k+1$
где
$m$-число, которое останется в итоге
$n$-номер
$k$- число которое, останется на этапе $n-1$
теперь запишем
$n=2 \sim 4$

$n=3 \sim 8$

$n=4 \sim 13$

$...........................................$

$n=2016 \sim x-2018$

$n=2017 \sim x$
Откуда
$x-2018-2017-...-3=4$

Я на правильном пути?

[arseniiv]

Ivan 09 в сообщении #1192404 писал(а):

Может моя запись не совсем корректна, но имеется ввиду что при $n=2 (1,2)$ останется число $4$

Это всё прекрасно, но, как уже сообщалось, что вы будете делать, если числа вычёркивать в другом порядке? Перебирать все 2017! способов это сделать?

-- Пн фев 13, 2017 23:36:29 --

Тут все советы, разумеется, хороши, но к этому вам, возможно, стоит прислушаться в первую очередь:

sa233091 в сообщении #1192207 писал(а):

Заметьте, что у вас каждый раз сумма чисел увеличивается на 1. Сколько будет операций?

[Ivan 09]

arseniiv
спасибо
операций будет $n-1$ то есть $2016$, если я правильно понимаю