Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши

[bayah]

Товарищи, нужно проверить удовлетворяют ли функции условиям соответствующих теорем.
Какая-то одна, говорят, соответствует.
Не могу понять какая и почему.

1).
$f(x)=\dfrac{3-x^2}{x^4}$
удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [-1,1].
(условия теоремы Ролля: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$, и $f(a) = f(b)$)

$f(x)$ разрывна в точке $x=0$ следовательно условия не выполняются.

2).
$f(x)=\sqrt[5]{x^4(x-1)}$
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке $\big[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big]$.
(условия теоремы Лагранжа: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$)

$f'(x) = \dfrac 1 5 \dfrac {5x^4 - 4x^3}{(x^5 - x^4)^{\frac 4 5}}$
$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

3).
$f(x)=\sqrt[3]{x^4(x+1)}$
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке $\big[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\big].
(условия теоремы Лагранжа: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$)

$f'(x) = \dfrac 1 3 \dfrac {5x^4 + 4x^3}{(x^5 + x^4)^{\frac 2 3}}$
$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

4).
$f(x)=x^2$ и $g(x)=x^3$
удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке $[-1, 1]$.
(условия теоремы Коши: $f$ и $g$ - непрерывны на $[a, b]$, дифференцируемы на $(a, b)$ и $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a,b)$

$g'(x) = 3x^2$
$g'(0) = 0$, что не удовлетворяет условию $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a, b)$.

5).
$f(x)=e^x$ и $g(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}$
удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке $[-2,2]$.
(условия теоремы Коши: $f$ и $g$ - непрерывны на $[a, b]$, дифференцируемы на $(a, b)$ и $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a,b)$
$g'(x) = \dfrac {2x}{(1+x^2)^2}$
$g(0) = 0$ что не удовлетворяет условию $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a, b)$.


То есть получается, что ни в каком случае условия соответствующих теорем не удовлетворены.
Где я ошибаюсь?

[Math_er]

bayah
А почему Вы так уверены, что в пунктах 2) и 3) функции в нуле не дифференцируемые? Из-за нуля знаменателя?

[ewert]

Точнее говоря, в пункте 2) или 3).

[bayah]

Math_er в сообщении #1191406 писал(а):

bayah
А почему Вы так уверены, что в пунктах 2) и 3) функции в нуле не дифференцируемые? Из-за нуля знаменателя?

Ну да, из-за нуля. А разве производная не должна быть конечной в точке, чтобы функция в этой точке была дифференцируема?

[Someone]

bayah в сообщении #1191441 писал(а):

А разве производная не должна быть конечной в точке, чтобы функция в этой точке была дифференцируема?

Должна. А у Вас там непонятно, конечная она или нет.

[ewert]

bayah в сообщении #1191441 писал(а):

Ну да, из-за нуля

Из-за нуля получается лишь, что формула для производной не применима в этой точке. Но это не означает, что производной там нет. Это означает, что в нуле надо искать её по определению, а не по формулам.

[bayah]

Someone в сообщении #1191445 писал(а):

Должна. А у Вас там непонятно, конечная она или нет.

А, ну да, разобрался.
2) стремиться к бесконечности, а 3) к нулю, оказывается)
Спасибо.

[ewert]

bayah в сообщении #1191504 писал(а):

А, ну да, разобрался.
2) стремиться к бесконечности, а 3) к нулю, оказывается)

Пока что не вполне разобрались. Мало ли что стремится.

[bot]

ewert в сообщении #1191609 писал(а):

Мало ли что стремится.

bayah, хрестоматийный пример $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\frac1x&\text{\\, если }x\ne 0\\ 0&\text{\\, если }x= 0\end{matrix}\right.$ знаете? Как Вы думаете, существует ли производная этой функции в нуле? Доп. вопрос: будет ли производная непрерывна в нуле?

(как это по-рюски?)

bayah в сообщении #1191504 писал(а):

стремиться

Одно дело, если она хочет стремитЬся, и совсем другое, когда захотела и уже стремитЪся.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

bot,
вот ещё некорректость, которую надо бы профессионально постебать (сам не возьмусь):

bayah в сообщении #1191392 писал(а):

$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

Мне кажется, что $f(0)$ --- или число, или ж\dots, и ни то, ни другое в принципе не могут быть дифференцируемыми.

[bot]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #1192028 писал(а):

bayah в сообщении #1191392
писал(а):
$f(0)$ не дифференцируема

Тут обычное косноязычие. Ясно, что речь идёт о поднятом заде не Татьяны, а кареты, в которой она ехала недифференцируемости не числа $f(0)$, а функции $f$ в точке $0.$