Делимость в зависимости от параметра

[stedent076]

При каких значениях $a\in (0;1)\cup (1;+\infty)$ область значений функции $y=\dfrac{a^{x+2}+a^2-2}{a^x+1}$ не содержит ни одного целого числа, делящегося на $3$?
Я выразил $a^x$ из исходной дроби:

$a^x=\dfrac{a^2-a-y}{y-a^2}$ т.к. $a^x>0$, то и $a^x=\dfrac{a^2-a-y}{y-a^2}>0$

Отсюда $y\in (a^2-a ;a^2)$

Условие " не содержит ни одного целого числа, делящегося на $3$" можно записать следующим образом:
$k\in\mathbb{Z}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &a^2-a>3k \\ & a^2<3k+3\\ \end{array} \right.$$

Если решить систему, сократив на $a$, то в итоге $1<a<3$, но в задачнике другой ответ. Подскажите, где ошибка (подозреваю, что в решении двойного нер-ва)

[gris]

По привычке сразу подставлять первое попавшееся из ответа, я подставил $a=2;x=0$. А вот ещё $a=\sqrt 7;x=0$.
Кроме того, ноль тоже целое число, которое делится на $3$. Можно сразу откинуть интервал. Ну и ещё у Вас при нахождении $y$ двоечка затерялась. В $a$ превратилась?

[stedent076]

gris
а как тогда нужно рассуждать, чтобы получить правильный ответ?

[popolznev]

Для начала можно упростить запись функции: в числителе легко выделяется выражение, тождественное знаменателю.

[gris]

ТС немного ошибся при выводе интервала, но и так видно, что функция непрерывна и монотонна при любом $a$. А теперь надо интервал двигать по оси $a$. Вот в Вашей системе ошибочку поправьте и аккуратно решайте её для каждого $k$.

[stedent076]

popolznev
я пробовал – ничего не дало
gris
Спасибо). Получается, у меня верный подход, но ошибка в вычислениях?

[gris]

В совете про выделение целой части яснее и проще видна область значений, которую Вы получили, слегка ошибшись: $(a^2-2;a^2)$. Вот теперь можно решать Вашу систему. Только обратите внимание, что $k$ тоже изменяется по целым числам. Чисто визуально решение будет представлять собой объединение бесконечного числа интервалов неодинаковой длины.

[stedent076]

gris
Извиняюсь за долгое молчание.

gris в сообщении #1192294 писал(а):

Чисто визуально решение будет представлять собой объединение бесконечного числа интервалов неодинаковой длины.

Интералов между числами, кратными 3. Я аккуратно посчитал и получил $a\in (1;\sqrt{3}]\cup[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};\sqrt{6}]\cup{{3}}$
Спасибо, что всегда помогаете))

[gris]

А, я понял!!! Там в условии функция $y=\dfrac{a^{x+2}+a^2-a}{a^x+1}$. И это хорошо!

[stedent076]

gris

[gris]

Если там функция, как написано у меня, то Ваше решение верно. Если там функция, как написано у Вас, то у Вас ошибка в интервале и системе и в ответе. Посмотрите на первое сообщение. Там в функции двойка, а потом она превратилась в $a$.

[stedent076]

gris
Да блин, постоянно делаю какие-то глупые опечатки, когда набираю в LaTeX(