Число композиций числа по модулю

[sar]

Помогите решить следующую задачу.
Необходимо найти число способов представить число $b$ в виде: $x-y\equiv b\mod n$, где $x\in \{0,...,r\}, y\in \{0,...,r-1\}$, $r>1$. Пыталась свести задачу к поиску числа композиций с нулевыми частями числа $b$ длины 2, где первое слагаемое $x\in \{0,...,r\}, а второе $n-y\in \{n-r+1,...,n\}$, но и здесь не могу подступиться...

[Math_er]

sar Что известно про величину $r$ по отношению к $n$?

[sar]

Math_er По условию известно только то, что $r>1$. Но я думаю, что стоит рассматривать только $r\leq n-1$, поскольку операция по $\mod n$.

[Hasek]

Давайте переформулирую задачу так: сколько существует пар чисел от $0$ до $r$, отличающихся друг от друга на некоторое $b$?

[sar]

Hasek
Ваша переформулировка вроде помогла. Тогда с учетом того, что $x\in\{0,...,r\}, y\in\{0,...,r-1\}$ получается следующее.

• Если $b\leq r\leq n-1$, то подходящие пары: $(b,0),(b+1,1),...,(r,r-b)$ - всего $(r-b+1)$ штук.
  
  • если $n-b\leq r-1$, то дополнительно подходят пары: $(0,n-b),(1,n-b+1),...,(b-1,n-1)$ - еще $b$ штук;
  • если $n-b>r-1$, то подходящих пар нет.
  То есть всего либо $(r-b+1)$, либо $(r+1)$ подходящих пар.
• Если $r<b\leq n-1$, то:
  
  • если $n-b\leq r-1$, то подходят пары: $(0,n-b),(1,n-b+1),...,(b-1,n-1)$ - $b$ штук;
  • если $n-b>r-1$, то подходящих пар нет.
  То есть всего $b$ подходящих пар.

Похоже на правду?

[Hasek]

Да, всё именно так.