Об аксиоме подстановки в ZF(C)

[alex_dorin]

Здравствуйте !
Верно ли понимать аксиому подстановки, как утверждение :
для любого множества, существует функция с областью определения - этим множеством и область значения - множество ?

[arseniiv]

Почему бы не понимать её ровно так, как она сформулирована? Ваше утверждение, во-первых, слишком сильное, потому что из непустого множества не существует никаких функций в пустое. Во-вторых, если его исправить, не прося существования таких функций, то, наоборот, слабовато.

[alex_dorin]

А.А. Френкель И. Бар-Хиллел Основания теории множеств М 2010 стр. 111
Я и раньше так думал, но, оказывается, так думали и гораздо раньше.

[arseniiv]

Давайте ссылаться не на страницы, а на разделы. Они не так меняются в зависимости от издания, а у меня нет вашего.

Вообще для конструирования упорядоченной пары $(a,a)$ аксиома подстановки не нужна, для выделения диагонали $\{(a,a) : a\in A\}$ из $2^{2^A}$ — тоже не нужна, и у нас на руках функция из $A$ в $A$.

[alex_dorin]

глава 2 параграф 5

[arseniiv]

Спасибо, хотя было бы неплохо и кусочек цитаты. Я нашёл там аксиому подстановки, но не вижу того утверждения, что вы написали.

[alex_dorin]

"Иными словам, если область определения однозначной функции есть множество, то и область ее значений также есть множество"

[arseniiv]

Но это ведь не то же самое, что написали вы:

alex_dorin в сообщении #1191696 писал(а):

для любого множества, существует функция с областью определения - этим множеством и область значения - множество

Тут кванторы в другом порядке стоят, ещё и один из них не тот.

[alex_dorin]

Т. к. это утверждение полностью выразимо в логике первого порядка, имеем противоречие с результатом Монтегю о невозможности аксиоматизации ZF в этой первопорядковой конечным количеством акиом.

[arseniiv]

Если бы вы выражались более развёрнуто,

[alex_dorin]

Утверждение : "F - функция с областью значения x и областью определения y"
вполне выразимо в ZF в логике первого порядка.
Это сделано в Расева, Сикорский Математика метаматематики,
хотя и с ошибками, которые устранены. Выражение - громоздкое. Я не его привожу из-за latex.

[arseniiv]

alex_dorin в сообщении #1191746 писал(а):

Утверждение : "F - функция с областью значения x и областью определения y"
вполне выразимо в ZF в логике первого порядка.

Так ведь в схеме подстановки речь не о функциях-множествах, а функциях, выражаемых формулами теории.

[alex_dorin]

Функции, выражаемые формулами теории множеств, Расева, Сикорский записали средствами ZF .

[Xaositect]

Можно поконкретнее ссылку? Не могу найти.

[arseniiv]

Меня всё тянет задавать неуместные вопросы о глобальных целях ТС, принимая к сведению всю его историю на форуме. Но я постараюсь сдерживаться. Это не будет понято конструктивно, ведь так?